(1)基本组成

1.输入过程

• 顾客总体数量：有限or无限。
• 到达时间间隔：一般服从某一概率分布。
• 顾客行为假定：在未服务之前不会离开。

2.服务规则

• 服务台的数量，一个或多个。

3.数量指标

• 平均队长：排队系统中顾客数的平均值， L s L_s Ls​。
• 平均队列长：排队系统中等待服务的顾客数的平均值， L q L_q Lq​。
• 平均逗留时间：一个顾客在系统中停留的时间的平均值， W s W_s Ws​。
• 平均等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间的平均值， W q W_q Wq​。
• 稳态顾客数： P n P_n Pn​,表示当稳定时有 n n n位顾客的概率。
• 平均到达率：单位时间内到达顾客的平均数 λ \lambda λ。
• 平均服务率：单位时间内被服务顾客的平均数 μ \mu μ。
• 服务强度：单位时间内的服务强度， ρ = λ μ \rho=\displaystyle\frac{\lambda}{\mu} ρ=μλ​。

(2)常见的分布

1.泊松分布

• 需要满足的条件：
  • 在 Δ t \Delta t Δt时间内，有一个顾客到达的概率为$\lambda\Delta t $ 。
  • 没有一个顾客到达的概率 1 − λ Δ t 1-\lambda\Delta t 1−λΔt
  • 不可能多于一个顾客到达。
  • 注意这里直接将 Δ t \Delta t Δt视为无穷小量
• 顾客到达服从参数为 λ \lambda λ的泊松流。

2.负指数分布

• 需要满足的条件：
  • 在 Δ t \Delta t Δt时间内，有一个顾客被服务完的概率为$\mu\Delta t $ 。
  • 没有一个顾客被服务完的概率 1 − μ Δ t 1-\mu\Delta t 1−μΔt
  • 不可能多于一个顾客被服务完。
  • 注意这里直接将 Δ t \Delta t Δt视为无穷小量
• 服务时间服从参数为 μ \mu μ。

(4)排队模型记号

• 一般形式：X/Y/Z/A/B/X
  • X顾客到达时间间隔分布。
  • Y服务时间分布。
  • Z服务台数目。
  • A排队系统允许的最大顾客容量。
  • B顾客总体数量。
  • C排队规则(一般情况为先到先服务)。

(5)单服务台模型

0.Little公式

• 运行指标之间的关系：
  • L s = λ W s L_s=\lambda W_s Ls​=λWs​
  • L q = λ W q L_q=\lambda W_q Lq​=λWq​
  • L s = L q + λ μ L_s=L_q+\displaystyle\frac{\lambda}{\mu} Ls​=Lq​+μλ​
  • W s = W q + 1 μ W_s=W_q+\displaystyle\frac{1}{\mu} Ws​=Wq​+μ1​

1.标准型M/M/1/ ∞ \infin ∞/ ∞ \infin ∞

• 特点：
  • 顾客源为无限的，顾客的到达相互独立，到达规律服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布。
  • 单服务台、队长无限、先到先服务。
  • 各顾客的服务时间相互独立，且同服从于参数为 μ \mu μ的负指数分布。
• 首先计算出来对应的P值：
  P 0 = 1 − ρ P n = ( 1 − ρ ) ρ n P_0=1-\rho\\ P_n=(1-\rho)\rho^{n} P0​=1−ρPn​=(1−ρ)ρn
• 计算出的参数结果：
  平 均 队 长 ： L s = λ μ − λ    平 均 队 列 长 ： L q = ρ λ μ − λ    平 均 逗 留 时 间 ： W s = 1 μ − λ    平 均 等 待 时 间 ： W q = ρ μ − λ 平均队长：L_s=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}\\ ~~\\ 平均队列长：L_q =\frac{\rho\lambda}{\mu-\lambda}\\ ~~\\ 平均逗留时间：W_s=\frac{1}{\mu-\lambda}\\ ~~\\ 平均等待时间：W_q=\frac{\rho}{\mu-\lambda} 平均队长：Ls​=μ−λλ​  平均队列长：Lq​=μ−λρλ​  平均逗留时间：Ws​=μ−λ1​  平均等待时间：Wq​=μ−λρ​

2.系统容量有限型M/M/1/N/ ∞ \infin ∞

• 损失制:当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即离去。
• 首先计算出来对应的P值：

• 计算出的参数结果：
  有 效 到 达 率 ： λ e = λ ( 1 − P N )    有 效 服 务 强 度 ： λ e μ = 1 − P 0    平 均 队 长 ： L s = 1 1 − ρ − ( N + 1 ) ρ N + 1 1 − ρ N + 1 ( ρ ≠ 1 , 当 ρ = 1 时 说 明 流 入 和 流 出 相 等 ， 没 有 排 队 现 象 产 生 )    平 均 队 列 长 ： L q = L s − ( 1 − P 0 )    平 均 逗 留 时 间 ： W s = L s λ e = L s λ ( 1 − P N ) = L q λ ( 1 − P N ) + 1 μ    平 均 等 待 时 间 ： W q = L q λ e = L q λ ( 1 − P N ) = W s − 1 μ 有效到达率：\lambda_e=\lambda(1-P_N)\\ ~~\\ 有效服务强度：\frac{\lambda_e}{\mu}=1-P_0\\ ~~\\ 平均队长：L_s=\frac{1}{1-\rho}-\frac{(N+1)\rho^{N+1}}{1-\rho^{N+1}}(\rho\not ={1},当\rho=1时说明流入和流出相等，没有排队现象产生)\\ ~~\\ 平均队列长：L_q =L_s-(1-P_0)\\ ~~\\ 平均逗留时间：W_s=\frac{L_s}{\lambda_e}=\frac{L_s}{\lambda(1-P_N)}=\frac{L_q}{\lambda(1-P_N)}+\frac{1}{\mu}\\ ~~\\ 平均等待时间：W_q=\frac{L_q}{\lambda_e}=\frac{L_q}{\lambda(1-P_N)}=W_s-\frac{1}{\mu} 有效到达率：λe​=λ(1−PN​)  有效服务强度：μλe​​=1−P0​  平均队长：Ls​=1−ρ1​−1−ρN+1(N+1)ρN+1​(ρ​=1,当ρ=1时说明流入和流出相等，没有排队现象产生)  平均队列长：Lq​=Ls​−(1−P0​)  平均逗留时间：Ws​=λe​Ls​​=λ(1−PN​)Ls​​=λ(1−PN​)Lq​​+μ1​  平均等待时间：Wq​=λe​Lq​​=λ(1−PN​)Lq​​=Ws​−μ1​

3.顾客源有限型M/M/1/ ∞ \infin ∞/m

• 首先说明一下，因为顾客源只有m，所以最多的情况就是来m个顾客，因此这个模型和 M/M/1/m/m 其实是完全一样的。
• 注意这里的 λ \lambda λ的定义和前面有一些区别，这里的 λ \lambda λ定义为单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数。
• 首先计算出来对应的P值：

• 计算出的参数结果：
  平 均 队 长 ： L s = m − μ λ ( 1 − P 0 )    平 均 队 列 长 ： L q = m − ( λ + μ ) ( 1 − P 0 ) λ = L s − ( 1 − P 0 )    平 均 逗 留 时 间 ： W s = m μ ( 1 − P 0 ) − 1 λ    平 均 等 待 时 间 ： W q = W s − 1 μ 平均队长：L_s=m-\frac{\mu}{\lambda}(1-P_0)\\ ~~\\ 平均队列长：L_q = m-\frac{(\lambda+\mu)(1-P_0)}{\lambda}=L_s-(1-P_0)\\ ~~\\ 平均逗留时间：W_s=\frac{m}{\mu(1-P_0)}-\frac{1}{\lambda}\\ ~~\\ 平均等待时间：W_q=W_s-\frac{1}{\mu} 平均队长：Ls​=m−λμ​(1−P0​)  平均队列长：Lq​=m−λ(λ+μ)(1−P0​)​=Ls​−(1−P0​)  平均逗留时间：Ws​=μ(1−P0​)m​−λ1​  平均等待时间：Wq​=Ws​−μ1​

(6)多服务台模型

1.多服务台标准型M/M/c/

• 顾客流为泊松流，平均到达率为 λ \lambda λ,各个服务台的平均服务率是 μ \mu μ。

• 整个服务机构的平均服务率为 n μ ( n < c ) n\mu(n<c) nμ(n<c) 或 c μ ( n ≥ c ) c\mu(n\ge c) cμ(n≥c)。

• 系统服务强度为（当 ρ > 1 \rho>1 ρ>1时会产生排队现象） ρ = λ c μ \rho=\frac{\lambda}{c\mu} ρ=cμλ​

• 首先计算出来对应的P值：

• 计算出系统的运行指标：

• 一个有用的结论：
  顾客逗留时间服从 μ − λ \mu-\lambda μ−λ 的指数分布(参考平均逗留时间 W s W_s Ws​)。

2.多服务台M/M/c/N/ ∞ \infin ∞

• 首先计算出来对应的P值：

• 计算出系统的运行指标：

3.多服务台M/M/c/ ∞ \infin ∞/m

• 首先计算出来对应的P值：

• 计算出系统的运行指标：

(7)排队系统最优化

1.标准M/M/1系统的最优服务率

• 参数引入：
  • C s C_s Cs​:对每个顾客的单位时间服务费。
  • C w C_w Cw​:为每个顾客在系统停留单位时间的损失费。
  • G G G:单位时间对每位顾客服务的收入。
  • z z z:总费用。
• 优化目标(单位时间费用最小)： min ⁡ z = C s μ + C w L s \min{z}=C_s\mu+C_wL_s minz=Cs​μ+Cw​Ls​
• 求得最优取值： μ ∗ = λ + C w C s λ \mu^{*}=\lambda+\sqrt{\dfrac{C_w}{C_s}\lambda} μ∗=λ+Cs​Cw​​λ ​
• 优化目标(服务利润最大)： max ⁡ z = μ ( 1 − P 0 ) G − C s μ \max{z}=\mu(1-P_0)G-C_s\mu maxz=μ(1−P0​)G−Cs​μ ( 1 − P 0 1-P_0 1−P0​表示排除没有人的情况)

2.系统容量有限M/M/1/N/ ∞ \infin ∞的最优服务率

• 与标准情况的差别：这里相当于如果系统中已经有 N N N个顾客了，那么后来的都会被拒绝，所以说这里实际进入(稳定状态下服务完)的客户多一个 ( 1 − P N ) (1-P_N) (1−PN​)的系数，为 λ ( 1 − P N ) \lambda(1-P_N) λ(1−PN​)。
• 优化目标为： min ⁡ z = λ ( 1 − P N ) G − C s μ = λ G 1 − ρ N 1 − ρ N + 1 − C s μ \min{z}=\lambda(1-P_N)G-C_s\mu=\lambda G\frac{1-\rho^{N}}{1-\rho^{N+1}}-C_s\mu minz=λ(1−PN​)G−Cs​μ=λG1−ρN+11−ρN​−Cs​μ
• 求得结果：
  ρ N + 1 N − ( N + 1 ) ρ + ρ N + 1 ( 1 − ρ N + 1 ) 2 = C s G \rho^{N+1}\frac{N-(N+1)\rho+\rho^{N+1}}{(1-\rho^{N+1})^2}=\frac{C_s}{G} ρN+1(1−ρN+1)2N−(N+1)ρ+ρN+1​=GCs​​
  注意这里面 ρ = λ μ \displaystyle\rho=\frac{\lambda}{\mu} ρ=μλ​，其他的参量也都知道，因此最后只需要通过数值方法求解 μ ∗ \mu^{*} μ∗。

3.顾客源有限M/M/1/m/m的最优服务率

• 根据之前的模型可知，单位时间服务完的顾客数为 λ ( m − L s ) \lambda(m-L_s) λ(m−Ls​)。
• 优化目标(服务利润最大)： max ⁡ z = λ ( m − L s ) G − C s μ \max{z}=\lambda(m-L_s)G-C_s\mu maxz=λ(m−Ls​)G−Cs​μ ( 1 − P 0 1-P_0 1−P0​表示排除没有人的情况)
• 优化结果为：

4.标准M/M/c的最优服务台数

• 优化目标(单位时间费用最小)： min ⁡ z = C s μ + C w L s \min{z}=C_s\mu+C_wL_s minz=Cs​μ+Cw​Ls​，注意这里因为 L s = L s ( c ) L_s=L_s(c) Ls​=Ls​(c)所以个服务台的个数有关。
• 由于 c c c是离散的取值，因此采用边际分析法求解，假定 c c c的最优值为 c ∗ c^{*} c∗，此时 z ( c ∗ ) z(c^{*}) z(c∗)为最少费用。
• 根据最小值的特性可以得到如下的不等式：
  z ( c ∗ ) ≤ z ( c ∗ − 1 ) z ( c ∗ ) ≤ z ( c ∗ + 1 ) z(c^{*})\le z(c^{*}-1)\\ z(c^{*})\le z(c^{*}+1) z(c∗)≤z(c∗−1)z(c∗)≤z(c∗+1)
• 化简得到结果：