01背包问题讲解
01背包问题原理细节讲解
1. 什么是01背包问题？
有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具备最大的价值总和？
为了方便后面的讲解，咱们先用具体的数字来表示物品个数，背包容量，以及对应的每一个物品的体积以及价值，以下表所示：ios
2.01背包问题的解决思路以及原理?web
根据动态规划解题步骤（问题抽象化、创建模型、寻找约束条件、判断是否知足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，而后编写代码实现。
动态规划与分治法相似，都是把大问题拆分红小问题，经过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不一样的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了不少次，而动态规划则具备记忆性，经过填写表把全部已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里须要用到的子问题能够直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，因此在问题知足最优性原理以后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。算法
最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具备这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所形成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略.编程
- 解决思路
在解决问题以前，为描述方便，首先定义一些变量：Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值 - a) 当物品备选状况（物品备选状况指：可供选择的物品的集合）一致时，背包容量M越大，那么sum_v必定大于等于原来的值。
b) 背包容量M肯定时，可供选择的物品N越多，那么sum_v必定大于等于原来的值。数组
c) 由a)和b)可得，sum_v的最大值就是当M和N取到最大值时的sum_vsvg
c) 从思路上说，01背包问题有两个维度：背包容量M，和供选择物品数N。编程的本质是实现人类解决现实问题的思路。仔细想一想，若是不借助计算机，你该如何解决这个问题？答案是，例如考虑M=1时，先考虑a可否放入背包，取得最大值，再考虑a和b可否放入背包（a和b都是备选，最终放入背包的多是a，多是b，也多是ab），这时所以与以前只考虑a的状况相比，多了一个b，因此：学习
要先判断b可否单独放进背包：
若是不能，那么备选为a,b时最大值，等于备选只有a时的最大值（由于b是放不进背包的）。
若是能，即b可以放进去，还有两种可能（即将b放进背包，和不将b放进背包），对这两种可能性，要取最大值：
最终将b放进去(注：此时物品a是否被放进背包是未知的，缘由是：剩余的背包容量可能不足以放进物品a，即要在剩余可选物品里找出最优解。
最终没有将b放进去（由于后面可能有比b更合适的物品放进去），此时最大值等于备选只有a时的最大值
用数学的方式描述上段话：sum_v[i][j]表示将前i件物品列为备选，背包容量为j时，能得到的最大价值；w[i]表示第i件物品的重量，v[i]表示第i件物品的价值
其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减小w(i)，但价值增长了v(i)；测试
由此能够得出递推关系式：spa
j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
j>=w(i) V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
这里若是第i件物品的体积大于当前状态的背包总容量，那么第i件物品确定是放不进去的，这个好理解，关键就是第二个式子，不少人看的很懵，心想，若是第i件物品能够装进去，那么为何还要比较和不装这个物品时背包的价值，这个也好理解，就是若是你把第i件物品若是装进去了，可是它是体积大价值小的物品，势必会影响背包的容量以及背包的最大价值，若是不装第i件物品，那么背包的价值就是上一个状态的最优解，即就是上一个状态的背包最大价值，一会我会在表格中详述并举例子说明。
其实，01背包问题的解决过程就是填表的过程，表填完了，最优解也就找到了，在表格的右下角。
针对刚才上面的疑问，咱们看这个表格来作理解
sum_v[3][7]表示当前有三个物品待装入背包，当前状态的背包容量为7，求此时的背包最大价值。
首先这三件物品的体积都是小于当前背包的状态容量7，若是不装入第三件物品，背包的最大价值为
sum_v[2][7]，在表格中查找可得sum_v[2][7] = 9(注意下标从0开始),若是装入第三件物品，背包的最大价值为sum_v[2][7 - 6] + 5 = 0 + 5 <9,也就是说若是把第三件物品装进去，当前背包状态的最大价值反而小了，所以须要取装入和不装入价值的最大做为当前背包状态的最大价值，不能一股脑装进去。3d
3.C++代码实现01背包问题
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
void knapsack(int products_count, int capacity, vector<int> &weight_array, vector<int> &value_array, vector<vector<int>> &result)
{
for (int i = 1; i <= products_count; ++i)
{
for (int j = 1; j <= capacity; ++j)
{
//当前背包的容量j放不下第i件物品时
if (weight_array[i] > j)
{
result[i][j] = result[i - 1][j];//放弃第i件物品，拿第i - 1件商品
}
else
{
result[i][j] = max(result[i - 1][j], result[i - 1][j - weight_array[i]] + value_array[i]);
}
}
}
}
int main()
{
while (1)
{
int products_cout, capacity;
vector<int> weight_array(1, 0);
vector<int> value_array(1, 0);
cout << "please input products count and knapsack's capacity:" << endl;
cin >> products_cout >> capacity;
cout << "please input weight array for" << products_cout << "products" << endl;
//循环输入每件商品的重量
for (int i = 1; i <= products_cout; ++i)
{
int tmp;
cin >> tmp;
weight_array.push_back(tmp);
}
cout << "please input value array for" << products_cout << "products" << endl;
//循环输入每件商品的价格
for (int i = 1; i <= products_cout; ++i)
{
int tmp;
cin >> tmp;
value_array.push_back(tmp);
}
//结果数组
vector<vector<int>> result(products_cout + 1, vector<int>(capacity + 1, 0));
//调用动态规划算法
knapsack(products_cout, capacity, weight_array, value_array, result);
cout << "knapsack result is " << result[products_cout][capacity] << endl;
cout << "---------------------------------------" << endl;
for (int i = 0; i <= products_cout; ++i)
{
for (int j = 0; j <= capacity; ++j)
{
cout << result[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}
system("pause");
return 0;
}
输入当前测试用例的输出为：
好了，01背包问题的动态规划思路的原理就到此结束了，但愿对你们的学习和理解有所帮助！