B-和B+树的定义、性质特点、举例说明

在学习B-、B+树之前应先学习过二叉排序树/二叉搜索树/二叉查找树！！！和平衡二叉树

B-树（B-Tree）的简介
B-树（B-Tree）是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用。它适合在磁盘等直接存取设备上进行动态表查找，即外存设备。
一棵m阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m叉树：
（1）树中每个节点至多有m棵子树（即至多有m-1个关键字）；（由此性质看树的阶，看子树的最多数量）
（2）除根结点外，其他节点至少有m/2个孩子结点（即至少有m/2-1=(m-1)/2个关键字）；
（3）若根结点不是叶子结点，则根结点至少有两个孩子结点/两棵子树；
（4）每个结点的结构：

其中，n为该节点中的关键字个数，除根结点外，其他所有结点的n大于等于m/2-1，且小于等于m-1；ki（1≤i≤n）为该结点的关键字且满足ki＜ki+1；pi（0≤i≤n）为该结点的孩子结点指针且满足pi（0≤i≤n-1）结点上的关键字大于等于ki且小于ki+1，pn节点上的关键字大于kn。
（5）所有叶子结点都在同一层上,即B-树是所有结点的平衡因子均等于0的多路查找树。

B-树的查找
B-树的查找类似二叉排序树的查找，所不同的是B-树上的每个结点是多关键字的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到相应指针所指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键字，查找失败。即在B-树上的查找过程是一个沿着指针顺序地寻找结点，然后在结点中查找关键字交替进行的过程。

B-树的举例说明

①查找关键字84：比根结点a55大，所以往右边，去到c结点，比69大，往右，比78大，去到i结点，比79大，往右，等于84，查找成功。
②查找关键字38：比根结点a55小，所以往左边，去到b结点，比10大，往右，比28大，去到f结点，比33大，往右，比40小，得知介于（33，40）之间，由于A2是叶子结点，所以查找失败。

B+树的简介
索引顺序文件组织的一个最大缺点是随着文件的增大，索引查找性能和顺序扫描性能都会下降。B+树(B+ Tree)采用平衡树结构，其中每个叶子结点到根的路径长度相同，每个非叶子结点有 m/2向下取整~m 个孩子结点，其中m为B+树的阶数。
结点结构：

B-和B+树的区别/B+树的特点
B+树是应文件系统所需而产生的一种B-树的变形树。一棵m阶的B+树和m阶的B-树的差异在于：
(1) 有n棵子树的结点中含有n个关键字；
(2) 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接；
(3) 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。


B+树的查找
在B+树上进行随机查找、插入和删除的过程基本上与B-树类似。只是**在查找时稍微有些区别：在查找过程中，当某个非终端结点上的关键字等于给定值时，B-树立即终止查找过程并返回成功；而在B+树中继续向下查找直到叶子结点。**因此，在B+树，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径。

B+树查找的分析类似于B-树。B+树的插入仅在叶子结点上进行。当结点中的关键字个数大于m时，该结点要分裂成两个结点，它们所含关键字的个数分别为 （m+1)/2 向下取整和(m+1)/2 向上取整 .并且它们的双亲结点中应同时包含这两个结点的最大关键字。B+树的删除也仅在叶子结点进行，当叶子结点中的最大关键字被删除时，其在非终端结点中的值可以作为一个“分界关键字”存在。若因删除而使结点中关键字的个数少于m/2向上取整时，其和兄弟结点的合并过程亦和B-树类似

B+树的举例说明
通常在B+树有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。所以可以对B+树进行两种查找运算：一种是从最小关键字开始的顺序查找，另一种是根结点开始的随机查找。