(1)偏微分方程的类型(二阶)

a ∂ 2 u ∂ x 2 + b ∂ 2 u ∂ y ∂ x + c ∂ 2 u ∂ x 2 + d ∂ u ∂ x + e ∂ u ∂ y + f u + g = 0 a\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+b\frac{\partial^2u}{\partial y\partial x}+c\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+d\frac{\partial u}{\partial x}+e\frac{\partial u}{\partial y}+fu+g=0 a∂x2∂2u​+b∂y∂x∂2u​+c∂x2∂2u​+d∂x∂u​+e∂y∂u​+fu+g=0

• b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac<0 b2−4ac<0 椭圆
• b 2 − 4 a c = 0 b^2-4ac=0 b2−4ac=0 抛物线
• b 2 − 4 a c < 0 b^2-4ac<0 b2−4ac<0 双曲线

(2)抛物线型

1.显式法

• 求解思想：通过差分的方法一排一排向上推。
• 做划分并代入方程 u i , j + 1 − u i , j k = u i + 1 , j − 2 u i , j + u i − 1 , j h 2    ( Δ x = h , Δ t = k ) \frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{k}=\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}~~(\Delta x=h,\Delta t=k) kui,j+1​−ui,j​​=h2ui+1,j​−2ui,j​+ui−1,j​​  (Δx=h,Δt=k)
• 通过化简得到 u i , j + 1 = r u i − 1 , j + ( 1 − 2 r ) u i , j + r u i + 1 , j    ( r = k h 2 ) u_{i,j+1}=ru_{i-1,j}+(1-2r)u_{i,j}+ru_{i+1,j}~~(r=\frac{k}{h^2}) ui,j+1​=rui−1,j​+(1−2r)ui,j​+rui+1,j​  (r=h2k​)
• 具体推的步骤大概如下：
  • 由于已知 u ( x , 0 ) = f ( x ) u(x,0)=f(x) u(x,0)=f(x)，因此相当于知道 u 0 , 0 , u 1 , 0 , u 2 , 0 … u_{0,0},u_{1,0},u_{2,0}\dots u0,0​,u1,0​,u2,0​…。
  • 通过上面的公式就可以推出来 u 1 , 1 , u 2 , 1 , u 3 , 1 … u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1}\dots u1,1​,u2,1​,u3,1​…，注意由于已知左边界和右边界，因此 u 0 , 1 u_{0,1} u0,1​也知道，所以第二排就可以全部推出来。
  • 通过上面的方式可以求出区域内全部的数值解。

2.Crank-Nicholson隐式算法

• 求解思想：也是一排一排向上推，但是这次是使用线性方程组一次性求出一排。
• 这里采用相同的划分方式，但是代入不同的差分方程

• 通过化简得到

• 具体推的步骤大概如下：
  • 由于已知 u ( x , 0 ) = f ( x ) u(x,0)=f(x) u(x,0)=f(x)，因此相当于知道 u 0 , 0 , u 1 , 0 , u 2 , 0 … u_{0,0},u_{1,0},u_{2,0}\dots u0,0​,u1,0​,u2,0​…。
  • 通过上面的公式就可以推出来方程 − r u i − 1 , 1 + ( 2 + 2 r ) u i , 1 − r u i + 1 , 1 = c     ( c 是 一 个 常 数 ) -ru_{i-1,1}+(2+2r)u_{i,1}-ru_{i+1,1}=c~~~(c是一个常数) −rui−1,1​+(2+2r)ui,1​−rui+1,1​=c   (c是一个常数)，注意由于已知左边界和右边界，所以这个其实就转化成在一维上的差分问题，最后列出全部的方程构成方程组求解即可。
  • 通过上面的方式可以求出区域内全部的数值解。
• 一个例子：

• 做划分并且代入差分方程
  取 k = 0.01 , h = 0.1 k=0.01,h=0.1 k=0.01,h=0.1
  − u i − 1 , j + 1 + 4 u i , j + 1 − u i + 1 , j + 1 = u i − 1 , j + u i + 1 , j -u_{i-1,j+1}+4u_{i,j+1}-u_{i+1,j+1}=u_{i-1,j}+u_{i+1,j} −ui−1,j+1​+4ui,j+1​−ui+1,j+1​=ui−1,j​+ui+1,j​
• 进行求解(这里利用了对称性，在 x = 0.5 x=0.5 x=0.5 两边是对称的，将 j = 0 j=0 j=0隐去，并根据对称性将 u 6 u_6 u6​替换成 u 4 u_4 u4​)

(3)双曲线型

• 得到的差分方程为 ( r = k h r=\frac{k}{h} r=hk​注意和之前的定义不同)：

• 划分需要满足一定的条件 k h ≤ 1 c \frac{k}{h}\le\frac{1}c{} hk​≤c1​
• 具体求解按照之前类似的方法即可。

(4)椭圆型

• 得到的差分方程为 (这里取 k k k和 h h h相等)：

• 求解
  • 可以采用类似之前的隐式或者显式方法求解。
  • 可以采用迭代法求解，比如雅克比迭代，转换成下面的迭代式