算法时间空间复杂度学习总结
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一、代码的执行效率 ：
快 ： 时间复杂度
省： 空间复杂度
二、大O复杂度表示法
T(n)=O(f(n))
n: 数据规模的大小 // 需要重点理解 n 的含义
T(n)： 所有代码的执行时间
f(n)：每行代码执行的次数总和
O ： 代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比
三、时间复杂度分析
(1)定义：
渐进时间复杂度，算法的执行时间与数据规模之间的增长关系
(2) 分析方法
1、只关注循环执行次数最多的一段代码
2、加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
3、乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
(3)常见时间复杂度
1、多项式复杂度：
常量阶 O(1) 对数阶 O(logn)
线性阶 O(n) 线性对数阶O(nlogn)
平方阶O(n2) 立方阶 O(n3) k次方阶 O(nk)
2、非多项式复杂度：
指数阶 O(2n) 阶乘阶O(n!)
3、两个数据的规模来决定的复杂度：
O(m+n) O(m*n)
四、空间复杂度
（1）定义
渐进空间复杂度，算法的储存空间与数据规模之间的增长关系
（2）常见空间复杂度
O(1)
O(n)
O(n2)
五、最好、最坏情况时间复杂度
demo：
最好情况时间复杂度 O(1)
最坏情况时间复杂度 O(n)
六、平均情况时间复杂度
（1）定义
全称是加权平均时间复杂度 或者期望时间复杂度
（2）未考虑概率：
要查找的变量x在数组中的位置，有n+1种情况:在数组的0~n-1位置中和不在数组中。
我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以n+1,就可以得到需要遍历的元素个数的平均值
（3）应该考虑概率：
加权平均时间复杂度 O(n)
七、均摊时间复杂度
（1）定义
对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。
均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度
(2)示例
解析：
当i < len时, 即 i = 0,1,2,...,n-1的时候，for循环不走，所以这n次的时间复杂度都是O(1);
当i >= len时, 即 i = n的时候，for循环进行数组的copy，所以只有这1次的时间复杂度是O(n); 由此可知:
该算法的最好情况时间复杂度(best case time complexity)为O(1); 最坏情况时间复杂度(worst case time complexity)为O(n); 平均情况时间复杂度(average case time complexity), 第一种计算方式: (1+1+...+1+n)/(n+1) = 2n/(n+1) 【注: 式子中1+1+...+1中有n个1】,所以平均复杂度为O(1); 第二种计算方式(加权平均法，又称期望): 1(1/n+1)+1(1/n+1)+...+1(1/n+1)+n(1/(n+1))=1，所以加权平均时间复杂度为O(1);
第三种计算方式(均摊时间复杂度): 前n个操作复杂度都是O(1)，第n+1次操作的复杂度是O(n)，所以把最后一次的复杂度分摊到前n次上，那么均摊下来每次 操作的复杂度为O(1)
八 练习题
特别注意 ：len =10 ,并不是确定量，只是初始值而已
本例中数据规模的大小n 对应的含义还是 数组的长度
（1）解析：
1 、 最好情况时间复杂度为 O(1)
2 、最坏时间复杂度为 O(n)
最坏情况代码执行的次数跟每次数组的长度有关
第1次调用insert的执行的次数为 n ,
第2次调用insert的执行的次数为 2n ,
第3次调用insert的执行的次数为 2^2 * n
第k次调用insert的执行的次数为 2^(k-1) * n
最坏时间复杂度为 O(n)。
3 、平均时间复杂度O(1)
当每次遇到最坏情况时数组会进行2倍扩容，原数组被导入新数组，虽然数组的长度变大了，但是插入操作落在的区间的长度是一样的，分别是0~len-1, len~( 2len-1),....;
插入的情况仍是len+1种:0~len-1和插满之后的O(len);所以每次插入的概率是:p= 1/len+1， 最后求出加权平均时间复杂度为 1p + 2p+ ▪▪▪ + len*p + len * p = O(1) ;
4、均摊时间复杂度 O(1)
均摊复杂度由于每次O(len)的出现都跟着len次O(1)，是前后连贯的，因而将O(len)平摊到前len次上，得出平摊复杂度是O(1)