二分查找：ios
再也不细说，就是在单调的一段区间查找一个数（或比它大（小））的数。算法
在STL中也有lower_bound,upper_bound两函数可用。函数
二分查找应用普遍，尤为配合DP中的数据处理上效率极高。优化
二分答案：spa
在求解一个形如：最大（小）值最小（大）的问题。显然是从可行解中寻找最优解的过程，那么易知可行解的取值是单调的。code
所以咱们能够二分范围内的解，若解可行，尝试二分更优解，不然二分较差解。这样以来，当l==r时，咱们就找到了最优解。blog
综上能够看出二分答案的过程实际上就是将求解转化为了解的断定（通常能够O(n)判断），在思惟难度和算法复杂度上都有很好的优化。排序
那么通常来讲，二分答案有固定套路，只是在解的断定上有所不一样：接口
while(l<=r) { int mid=(l+r)>>1; if(check(mid))r=mid-1; else l=mid+1; } cout<<l;//最大值最小
while(l<=r) { int mid=(l+r)>>1; if(check(mid))l=mid+1; else r=mid-1; } cout<<r;//最小值最大
固然了，若是不知道输出什么，那就把mid记录下来，最后知足check(mid)==true的mid必定是最优解。ci
另外的，二分答案能够同DP，贪心等东西联系起来，这里有几道简单的例题：
进击的奶牛
最基础的题，咱们只须要二分距离判断若是奶牛间距离最小为mid可否放开所有奶牛就好（固然还须要排序牛棚位置）：
bool check(int x) { int before=a[1],total=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(a[i]-before>=x) { before=a[i]; total++; } if(total==c)return 1; } return 0; }
时间管理
咱们按照S_i排序，令二分的mid做为初始时间，而后从1开始模拟，若是从某处时间超过了S_i，舍去，反之，可行。
bool check(int x) { int _time=x; for(int i=1;i<=n;i++) { _time+=e[i].t; if(_time>e[i].s)return false; } return true; }
数列分段
咱们令二分出的数为x，则须要数列分红m部分且每部分和不大于x。
考虑这样一个贪心：
从头开始累加，直到超过x，则须要多分一部分，当咱们考虑过全部数，共分为cnt个部分，那么此解合法当且仅当cnt<=m。正确性显然。
bool check(int x) { int now=0,cnt=1; for(int i=1;i<=n;i++) { if(a[i]>x)return false; if(now+a[i]>x) { cnt++; now=0; } now+=a[i]; } return cnt<=m; }
一元三次方程求解
咱们观察一元三次方程的大体图像：
如图即是一个标准状况下的三次函数图像。当a>0时经过观察咱们会发现从左到右的趋势是：升——降——升。而当a<0时状况相反。
固然了，输入保证方程有三个解，为了方便观察解的分布，咱们绘制样例的图像：
咱们发现三个解分别分布在其三个单调区间内，所以咱们能够在每一个单调区间内二分。
接下来一步是如何求 其单调区间，显然其单调区间为：[-100,x1],[x1,x2],[x2,100];关键就是求函数的两极值点。
考虑求导（逃
导函数f’(x)=3ax^2+2bx+c，求其两零点（题目保证了解的存在性），由公式法知：
x1=(-2*b+sqrt(4*b*b-12*a*c))/(6*a);
x2=(-2*b-sqrt(4*b*b-12*a*c))/(6*a);
对于a<0的状况，为了统一将a变为-a，其他系数也乘-1，方程-ax^3-bx^2-cx-d=0 仍成立，不影响答案。
对于增区间和减区间分别二分求解便可。
这里是以前没有提过的对于实数的二分：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; double a,b,c,d; const double eps=0.001; double judge(double x) { return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;//带入求值 } double find_up(double l,double r) { while(fabs(r-l)>eps)//控制精度 { double mid=(r+l)/2.0; if(judge(mid)<0)l=mid; else r=mid; } return l; } double find_down(double l,double r) { while(fabs(r-l)>eps) { double mid=(r+l)/2.0; if(judge(mid)<0)r=mid; else l=mid; } return r; } int main() { cin>>a>>b>>c>>d; if(a<0) { a=-a; b=-b; c=-c; d=-d; } double x1=(-2*b+sqrt(4*b*b-12*a*c))/(6*a); double x2=(-2*b-sqrt(4*b*b-12*a*c))/(6*a); printf("%.2f ",find_up(-100.0,x2)); printf("%.2f ",find_down(x2,x1)); printf("%.2f",find_up(x1,100.0)); }
U盘
接口大小直接限制了可选文件的范围，若是接口大小肯定，那么可用文件也就肯定了。
咱们二分接口大小，考虑如何check.
咱们对于可用文件跑一个01背包，那么f[s]表示大小为s可获的最大价值。方案可行当且仅当f[s]>=p;
bool check(int x) { memset(f,0,sizeof(f)); for(int i=1;i<=n;i++) if(w[i]<=x) for(int j=s;j>=w[i];j--) f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]); return f[s]>=p; }
以上是最基础的二分答案例题，想深刻理解还要多训练。
三分：
三分法，适用于求解凸性函数的极值问题，
流程：设当前求解区间为[l,r]，令m1=l+(r-l)/3,m2=r-(r-l)/3;咱们记函数值更优的点为好点，函数值更劣的点为坏点。那么显然最优势和好点会与坏点同侧，咱们的求解区间就成了[l,m2],
注：单峰函数必须严格单调，不然f(m1)==f(m2),将没法断定如何缩小左右界
（以上摘自《信息学奥赛一本通·提升篇》 注：良心推荐这本书，你值得拥有！虽然本人在书中找出了几处小错误（手动滑稽），但白璧微瑕，毕竟仍是初版嘛，以后确定会完善的）
固然了对于二分和三分而言，若是你不想卡精度，那么能够限制二分次数，这里再也不赘述。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const double eps=1e-6; double n,l,r; double a[14]; double f(double x) { double ans=0; for(int i=1;i<=n+1;i++) ans+=a[i]*pow(x,n-i+1); return ans; } int main() { cin>>n>>l>>r; for(int i=1;i<=n+1;i++) cin>>a[i]; while(fabs(r-l)>=eps) { double m1=l+(r-l)/3,m2=r-(r-l)/3; if(f(m1)<f(m2))l=m1; else r=m2; } printf("%.5f",r); }