7 - VC维度（VC Dimension）-- 衡量模型与样本的复杂度

• VC Dimension的定义

  咱们知道dichotomies数量的上限是成长函数，成长函数的上限是边界函数：

  边界函数的上限就是N^(k-1)了：

  因而咱们获得了上限（成长函数）的上限（边界函数）的上限。。。

  因此VC Bound能够改写成：

  复习结束，下面咱们定义VC Dimension：

  用中文讲，对于某个备选函数集H，VC Dimension就是它所能shatter的最大数据个数N。

  VC Dimension = minimum break point - 1。

  因此在VC Bound中，(2N)^(k-1)能够替换为(2N)^(VC Dimension)。

  VC Dimension与学习算法A，输入分布P，目标函数f均无关。

  
  

• PLA的VC Dimension

  1D的PLA最多shatter2个点，因此VC Dimension = 2；

  2D的PLA最多shatter3个点，因此VC Dimension = 3；

  因此dD的PLA，VC Dimension会不会等于d+1？

  要证实这一点，只需证实：

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  (1) 证实VC Dimension≥d+1，只需证实H能够shatter某些d+1个输入。

  咱们刻意构造一组d+1个输入：

  第一列灰色的1是对每一个输入提升1维的操做，这个是一个d+1维的方阵，对角线所有是1，因此该矩阵可逆。

  对于任意一种输出，咱们总能找到一个备选函数使得：

  即这一组输入的全部dichotomies都被穷尽了，因此VC Dimension≥d+1得证。

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  (2) 证实VC Dimension≤d+1，只需证实H不能shatter任何d+2个输入。

  在2D情形下构造一组4个输入：

  因此 x4 = x3 + x2 - x1。
  

  若是前3个输出是：

   

  那么第4个输出是多少？

   
  

  因为：

  因此：

  ------<1>

  若是有一个备选函数W，使得其在x1,x2,x3上的输出的符号与方程<1>中的符号相同：

  那么必定有：

  因此H不能shatter 2+2=4个输入。

  推广到d维：

  任何d+2个数据做为输入，即便升了一维以后，输入矩阵的行数（d+2）依然大于列数（d+1），因此矩阵各行是线性相关的，即x(d+2)能用x(d+1),......,x2,x1的线性组合来表示。

  咱们假设H能够shatter d+2个输入，那么咱们必定能找到一个W，使得x(d+1),......,x2,x1对应的输出的符号与他们在线性表达式中的系数符号相同：

  因此：

  以前的假设是错的，H不能shatter d+2个输入。

  因此VC Dimension≤d+1得证。
  

  综合(1)(2)，对于d-D PLA，其VC Dimension=d+1。

  
  

• VC Dimension的物理意义

  在教程中这么说：

  即VC Dimension是备选函数集H的“能力”。“能力”越大，H对数据的划分就越细致。

  例如，从Positive Ray到Positive Interval，自由变量从1个变成了2个，VC Dimension从1变成了2，H变得更强大。

  在VC Dimension与备选函数集大小M基本正相关：

  
  

• 深刻理解VC Dimension

  VC Bound:

  因此GOOD事件：| E-in(h) - E-out(h) ≤ ε |能够改写成：

  即：

  咱们最终但愿E-out越小越好，因此上面的不等式中能够只关心上界。

  咱们把根号项看作一种惩罚，它拉大了E-in与E-out之间的距离，这个惩罚与“模型复杂度”有关，模型越复杂，惩罚越大：

  一图胜千言，能够看出随着模型复杂度的增长，E-in与E-out两条曲线渐行渐远。

  若是VC Dimension太大，模型复杂度增长，E-in与E-out偏离；

  若是VC Dimension过小，虽然E-in≈E-out，但H不够给力，很难找到不犯错（或不多犯错）的h。

  基本上，天下没有免费的面包！

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  VC Bound提升了数据复杂度。

  用一个简单的数学题就能说明：

  你帮老板分析股票数据，老板说E-in与E-out差距最大为ε=0.1；置信度为90%，即δ=0.1；所用模型的VC Dimension = 3。你用程序算了一番，发现：

  因而你向老板汇报，请给我29300条数据做为训练集、29300条做为测试集，我就能达到你的要求，若是想万无一失，200000条数据是起码的。原本被老板逼死的节奏，如今要把老板逼死了，哪来这么多数据？

  本题中：

  need N ≈ 10000 * VC Dimension

  而实际应用中，须要的数据量在10倍VC Dimension左右。

  为何VC Bound会这么宽松，以致于过多估算数据量？

  由于VC Bound对数据分布、目标函数、备选函数集、学习算法都没有要求，它牺牲了部分精确性，换来了无所不包的通常性。这使得VC Bound具备哲学意义上的指导性。