单调栈和单调队列入门

单调栈是什么?

分为单调递增和单调递减栈。(栈内元素成递增或者递减性)

例如:
当前单调递增栈内元素[1,2,4],以后入栈的元素为(3),
为了维护单调性，元素(4)出栈

\[ [1,2,4]-入栈(3) -出栈(4)- [1,2,3]-入栈(0)-出栈(1)(2)(3)-[0] \]

单调递增栈主要做用:

把序列中每一个元素放到单调栈中进行维护就能够在\(O(n)\)时间复杂度内
求出区间每一个元素为最大值/最小值时,影响的区间范围为[left,right]。

单调递增↗栈求最小值影响范围

单调递减↘栈求最大值影响范围

\(例如:序列{1,2,3,2,1}\)

1 2 3 2 1
        口
      口口口
    口口口口口
    0 1 2 3 4

用单调递减栈便可求出

最大值	区间[left,right]
1	[0,0]
2	[0,1]
3	[0,4]
2	[3,4]
1	[4,4]

维护单调栈:

这里咱们以单调递增栈为例,求最小值影响范围

咱们规定将下标(index)压入栈中。为了方便编码,咱们在使用单调栈的数组的最后加入-INF(一个极小值),方便后续的出栈。

序列变成 \({1,2,3,2,1,-INF}\)

i	要入栈的height[i]	栈的变更	变更后的栈
0	1	push(0)	[0]
1	2	push(1)	[0,1]
2	3	push(2)	[0,1,2]
3	2	pop(2),push(3)	[0,1,3]
4	1	pop(3),pop(1),push(4)	[0,4]
5	-INF	pop(0),push(4)	[]

[left,right]中的right:

若元素height[i]从栈中pop出就说明这个元素为最小值的右侧影响范围到此为止。

[left,right]中的left:

由于栈内元素单调递增,栈pop以后，栈顶的元素height[s.top()]不大于pop的元素。因此左侧的影响范围为pop以后栈顶的元素的下标+1，这里须要注意pop以后栈为空的状况，由于pop以后栈为空，说明没有元素是比pop出的这个元素小，那这个pop出的元素影响它左端的全部元素。

//单调递增栈
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int MAXN = 1e6 + 1;
LL height[MAXN];
int N;

void solve(){
    height[N] = -INF;
    stack<int> s;
    for(int i=0;i<=N;i++){
        while(!s.empty() && height[s.top()] > height[i]){
            int cur = s.top();
            s.pop();
            int _left = s.empty()?0:s.top()+1;
            int _right = i-1;
            cout << height[cur] << " " << _left << " " << _right << endl;
        }
        s.push(i);
    }
}

int main() {
    cin >> N;
    for(int i=0;i<N;i++) cin >> height[i];
    solve();
    return 0;
}

//单调递减栈
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long int LL;
const int MAXN = 1e6 + 1;
LL height[MAXN];
int N;

void solve(){
    height[N] = INF;
    stack<int> s;
    for(int i=0;i<=N;i++){
        while(!s.empty() && height[s.top()] < height[i]){
            int cur = s.top();
            s.pop();
            int _left = s.empty()?0:s.top()+1;
            int _right = i-1;
            cout << height[cur] << " " << _left << " " << _right << endl;
        }
        s.push(i);
    }
}

int main() {
    cin >> N;
    for(int i=0;i<N;i++) cin >> height[i];
    solve();
    return 0;
}

单调栈模板

void solve(){
    //单调递增栈 -INF,递减 INF
    height[N] = -INF;
    stack<int> s;
    for(int i=0;i<=N;i++){
        //单调递增栈 >,递减 <,等号看题目
        while(!s.empty() && height[s.top()] > height[i]){
            int cur = s.top();
            s.pop();
            int _left = s.empty()?0:s.top()+1;
            int _right = i-1;
            cout << height[cur] << " " << _left << " " << _right << endl;
        }
        s.push(i);
    }
}

单调队列

引入双端队列的概念。
元素能够从队列的头部和尾部进行插入和删除。

那么单调队列和单调栈的区别在于栈与双端队列的区别，在原有单调栈的基础上，你能够修改和获取到栈底的元素，这就致使了你能够对最值影响区间[Left,Right]中的Left进行控制,而且能够直接得到这个区间最值是多少。(本来由于栈顶元素未知，因此没法获取),也就是说能够 在\(O(n)\)求整个序列中,区间长度为k的区间最值

//输出区间[left,right],长度为m的最小值.
inline void solve(){
    deque<int> q;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        //单调递增栈 >,递减 <
        while(!q.empty()&&height[q.back()]>height[i]) q.pop_back();
                //如下根据题意进行更改
        printf(i>0?"0\n":"%d\n",height[q.front()]);
        q.push_back(i);
        if(i-q.front()>=m) q.pop_front();//限制区间长度为m
    }
    putchar('\n');
}

题目

P1886 滑动窗口

P1440 求m区间内最小值