二进制补码的数学原理

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做者： 梁言  

时间：2019年2月19日

最近在网上查了不少关于补码的文章，要么是长篇大论，要么就是错误百出，因此我用简单的语言把这个问题分析一遍，以便于你们理解记忆，若有错误欢迎留言指正。

 

一，“原码”、“反码”、“补码”的基本概念

针对还不明白这几个基础概念的同窗们须要阐述一下，若是已经知道的同窗自行跳过。

一、“原码”

就是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其他位数表示数字的值。

如：十进制  6 = 二进制原码 0000 0110 

　　十进制 -6 = 二进制原码 1000 0110

二、“反码”

正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码逐位取反，符号位除外。

 如：十进制 6 = 二进制原码 0000 0110 = 二进制反码 0000 0110

　　 十进制 -6 = 二进制原码 1000 0110 = 二进制反码 1111 1001

三、“补码”

正数的补码与原码相同，负数的补码是在其反码的末位加1。

如：十进制 6 = 二进制原码 0000 0110 = 二进制反码 0000 0110 = 二进制补码 0000 0110

　　十进制 -6 = 二进制原码 1000 0110 = 二进制反码 1111 1001 = 二进制补码 1111 1010

 

2、“原、反、补”的产生缘由

由于计算机cpu只有加法运算器，没有减法运算器，因此须要把减法转换为加法来作，因此天然就产生了“原、反、补”来将减法转换为加法计算。

虽然这个东西有点反人类，但毕竟是机器去使用它，咱们只须要明白就行。

 

3、“反码”应运而生

 

二进制“反码”很容易产生，由于cpu有一个二进制取反逻辑门电路，只要把“原码”经过那个“门”出来就变成“反码”了

“原码”与“反码”有一个特色：

以一个字节二进制数据为例

十进制 -6 = 二进制原码 1000 0110 = 二进制反码 1111 1001

任意一个数的“原码”加上这个数的“反码”=> 10000 0110 + 1111 1001 = 0111 1111 结果是同样的十进制127。

=> "原码"  +  “反码” = 127

=> "原码" = 127 -  “反码”

设 z 为一字节二进制正数(就是须要咱们减去的数值),等式两边同时减去z

=>"原码" - z = 127 -  “反码” - z 

=>("原码" - z) = 127 -  (“反码” + z) 

由于 "原码" = 127 -  “反码”

因此(“反码” + z) 为("原码" - z)的“新反码”

反之("原码" - z)为(“反码” + z)的“新原码”

这样就把减法转换为了加法。

若是没有看懂同窗没关系，上图=====>

4、”补码“补漏洞

须要注意的是，当(“反码” + z)的值大于等于127时，计算结果就会出现错误

例如：十进制 8 = 二进制反码 0000 1000

　　　十进制 6 = 二进制反码 0000 0110

　　　十进制 -6 = 二进制原码 1000 0110 = 二进制反码 1111 1001

　　　6 + (- 6) => （反码）0000 0110 + （反码）1111 1001 = (反码)1111 1111 =>（原码）1000 0000 结果为-0，负0在数学上是无定义的

　　   8 + (-6) => （反码）0000 1000 + （反码）1111 1001 = (反码)0000 0001 =>（原码）0000 0001结果为1，明明8-6结果为2啊，又出错了

　　  (-6) + (-6) => （反码）1111 1001 + （反码）1111 1001 = (反码)1111 1010 =>（原码）1000 0101结果为-13，明明-6-6结果-12，又出错了

错误是如何产生的了？

由于一个字节二进制的 0000 0000 有8个bit

这个二进制数字的排列数就有2^8个，结果就是256个排列数，256除以2等于128，就是有128种排列用于表示负数，128种排列来表示正数，

（如上图）原反码的圆盘只有127个指针数，跟一字节二进制自然的排列数128周期相比就少一个指针数

这样就致使“原、反码”算法的循环周期和二进制天然的循环周期不一致，不一样步而产生错误。

 

 引入”补码“

求 "原码" + ”补码“？

由于”补码“ = ”反码“ + 1 

=>   "原码" + ”补码“ = "原码" + ”反码“ + 1 

由于 "原码" + ”反码“ = 127

=>  "原码" + ”反码“ + 1 = 127 + 1 = 128 

=> "原码" + ”补码“ = 128

=> "原码"  = 128 -  ”补码“

设 z 为一字节二进制数(就是须要咱们减去的数值),等式两边同时减去z

=> "原码"  - z = 128 -  ”补码“ - z

=> ("原码"  - z) = 128 - (”补码“ + z)

同理(”补码“ + z)是("原码"  - z)的新补码。

这样咱们就至关于把圆盘刻度增长一位值（见下图）。

 

这样算法周期和二进制排列数周期就相匹配了。

须要注意的是：

二进制128个排列是用来表示-128到-1的

二进制128个排列是用来表示0到127的

因此一字节二进制能表示带符号数的范围是-128到127.

规定-128 用 1000 0000（补码） 表示，这个二进制很特殊它减1的效果和它取反的值同样，因此它的原码和补码相等。

-1用 1111 1111（补码）表示。