[优化算法] 基因算法解决 TSP 问题

基因算法解决 TSP 问题

基因算法的运算方法包括

• Representation：将须要求解的问题的解空间用“基因”表示（连续变量用浮点型；离散变量用编码）
• Evaluate：评价个体的适应度
• Crossover：交叉父本的基因获得子代基因，加强搜索解空间的能力（我的认为是提升了搜索局部最优的能力）
• Mutation：经过变异扩大搜索解空间的能力（我的认为是提升搜索全局最优的能力）
• Selection：选择适应度最高的个体并保留，淘汰适应度低的个体

对于二进制编码Representation，基因算法的过程能够清晰地表示为：

1. 二进制编码表示，如基因A：01001和基因B：00111
2. 交叉运算，由交叉因子pc控制是否交叉一对父本基因的基因段。对于第i位，从（0，1）均匀分布中抽样x并和pc相比较，若x<pc，则将两个基因的第i位互换。好比对于第三位抽样x，若x<pc，则获得子代A：01101和子代B：00011
3. 变异运算，由变异因子pm控制是否使父本基因的某段基因产生变异，对于第i位，从（0，1）均匀分布中抽样x并和pm相比较，若x<pm，则将基因的第i位取反。好比对于基因B的第一位，一样从（0，1）均匀分布中抽样x并和pm相比较，若x<pm，则获得子代B：10011
4. 评价运算，计算各个个体（基因）的适应度，易知咱们须要一个合适的评价函数，如f(A)=a和f(B)=b
5. 选择运算，一般使用轮盘赌的方法选择适应度高的种群，但其实这个能够根据本身的须要来自定义实现方式

Tips:

　　1. 变异因子pm和交叉因子pc是能够随着优化进行而自适应的。好比在优化起始阶段，pm和pc的值设置稍大能够提升搜索能力，而到了优化后期，pm和pc应当相应地减少，以强化其局部搜索能力。

　　2. 轮盘赌：简言之即得分高的个体其保留几率越大。好比对于基因A适应度/得分为f(A)=a，基因B为f(B)=b，那么A的保留几率为P_A=a/(a+b)，而P_B=b/(a+b)。

 

对于TSP问题：

　　首先，咱们要有各个城市/地点之间的距离表distance_between_cities。(能够本身随机生成)

　　而后，TSP问题其实就是寻找一个合适的地点（循环的）排序R，使得对于R中的每一个相邻元素city_i的距离之和最小。对于Multiple-Run Algorithm，能够不停生成不一样的排序R_i，并计算相应的距离之和（即成本Cost）。而采用基因算法，其步骤以下：

1. 随机生成包含N个排序个体的初始排序种群R，并计算其成本Cost_original = evaluate(R)（这里假设已经有了评价运算函数evaluate，如下同理）。
2. 在迭代次数k<设置的最大迭代次数k_max时，执行如下步骤：

• • 交叉运算 R_crossover=crossover(R)
  • 变异运算 R_mutation=mutation(R_crossover)
  • 评价运算 Cost=evaluate(R_mutation)
  • 选择运算 [R, R_best, Cost_best]=selection(R_mutation, Cost)

交叉运算

　　交叉运算有几种方式，本次实现采用的是基于位置的交叉。首先将种群分为父本和母本，随机肯定父本中要交换的部分并复制到子代，而后将母本的其余基因按顺序复制到子代。代码实现就须要关注避免重复的部分，能够这样实现：随机取出父本中要保留的基因部分F_section（要注意的是这是一段分立的基因），再顺序逐个取出母本基因元素M_element生成和F_section同等大小的M_section，两向量相减再求元素积，为0则表示母本基因元素M_element在父本基因段F_section中已经出现了。利用矩阵、向量运算能够避免循环查询父本基因段中是否有母本元素，以此实现高效率（由于矩阵运算有相关的优化）。

Partial-Mapped Crossover（部分映射交叉）

Order Crossover（顺序交叉）

Position-based Crossover（基于位置的交叉）

交叉因子pc 一般较大，好比取pc=0.8。

变异运算

　　TSP问题中，变异运算只须要随机肯定须要执行的数量，再依据变异因子pm随机地交换两个城市的位置便可。

评价函数

　　能够生成一个三维张量R_tensor，其中行列为各个城市，那么易知，矩阵元素若为“1/0”便是表示俩城市间是/否属于路径R_i。而通道则表明了种群中的不一样个体，故R_tensor的大小为num_city * num_city * num_population。将各通道分别与距离表distance_between_cities做矩阵相乘获得矩阵Temp，取其对角元素求和并除以2就是路径R_i的距离之和，能够用来做为每一个路径个体的适应度Cost。

选择运算

　　有两部分，1.挑选出最优的个体R_best与对应的适应度Cost_best。2.挑选出较优的种群的一部分，做为下一次迭代的父代。（由于交叉运算中一般会使得种群数量减半，因此这里能够加倍来使种群维持在定值）。

 

自适应的变异因子pm：利用种群多样性

　　在优化初期，根据种群多样性population_diversity保持在某个值S附近来调整pm，好比population_diversity < S时，须要提高种群多样性，故取c>1，令pm=pm*c提高变异的几率，同理population_diversity > S时，令pm=pm/c下降变异几率。对于浮点型算法，求种群多样性是采用了标准差，而对应到TSP问题中，多样性则体如今路径“基因段”的多样性。变异因子初始值pm₀一般在种群数量倒数与基因长度(TSP问题中就是路径长度=城市数量)倒数之间，即pm₀∈(min{1/num_population, 1/num_city}, max{1/num_population, 1/num_city})。

　　举个例子，路径A：1354267和路径B：5423716的类似基因段有：54,42,71，故在此定义A与B的非类似度为7-3=4.对于路径C=A，其非类似度为7-7=0，易知此时非类似度∈[0,7]。对于肯定的城市数量num_city，非类似度=城市数-类似基因段数量，能够考虑用因子S将种群控制在非类似度在0.1*num附近。

　　其计算过程将不一样通道的R_i相乘再取对角元素求和除以2即便类似基因段数量。如路径1342和路径4123，计算后获得值为2，即12和34。

 

 

 

	1	2	3	4
1	0	1	1	0
2	1	0	0	1
3	1	0	0	1
4	0	1	1	0

	1	2	3	4
1	0	1	0	1
2	1	0	1	0
3	0	1	0	1
4	1	0	1	0

关于浮点Representation，总体过程相似，只是其交叉运算和变异运算都有不一样。

交叉运算

　　假设有父本X_i和母本Y_i

　　子代Z_i = a*X_i + (1-a)*Y_i　　0 < a < 1 且a是随机生成的。

变异运算

　　变异运算能够用 x_new_i = x_old_i + Δx_i

　　有Δx_i|r > 0.5 = (x_{max, i} - x_i)*(2*(r - 0.5))^β   和　Δx_i|otherwise = (x_min, i - x_i)*(2*(0.5 - r))^β

　　其中r是从(0,1)均匀分布随机生成的，β一般大于1（好比能够取β = 3）。

 

关于算法的收敛性：尚未找资料深刻研究过该算法的收敛性。直观地看，该算法能够高效地搜索解空间，而且会获得一个最优个体（感受有点相似Multiple-Run）。

 

Acknowlegement:

https://blog.csdn.net/greedystar/article/details/80343841?utm_source=blogxgwz2