FFT推导过程

全部考试总算考完了，因而我被L^AJ_i学校坑去生产线QAQ

趁着脑壳还记得先马一下（距离遗忘DSP全部内容还有30min

已知\(X[m]=\sum_{k=0}^{N-1}x[k]W_{N}^{km},m=0,1,...N-1\)

那么\(X[m]=\sum_{k=0}^{N-1}[k==2r]x[k]W_{N}^{km}+\sum_{k=0}^{N-1}[k==2r+1]x[k]W_{N}^{km}\)

\(X[m]=\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r]W_{N}^{2rm}+\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r+1]W_{N}^{(2r+1)m}\)

\(=\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r]W_{N}^{2rm}+W_{N}^{m}\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r+1]W_{N}^{2rm}\)

\(=\sum_{r=0}^{N/2-1}x_1[r]W_{N}^{2rm}+W_{N}^{m}\sum_{r=0}^{N/2-1}x_2[r]W_{N}^{2rm}\)

由可约,\(=\sum_{r=0}^{N/2-1}x_1[r]W_{N/2}^{rm}+W_{N}^{m}\sum_{r=0}^{N/2-1}x_2[r]W_{N/2}^{rm}\)

\(X[m]=X_1[m]+X_2[m]\)

由周期,\(X_1[m+N/2]=X_1[m]\),\(X_2[m+N/2]=X_2[m]\)
由对称,$ W_{N}^{m+N/2}=-W_{N)^{m} $

可获得另外一边
\(X[m+N/2]=X_1[m+N/2]+W_{N}^{m+N/2}X_2[m+N/2]=X_1[m]-W_{N}^{m}X_2[m]\)

对比一下
\(X[m]=X_1[m]+W_{N}^{m}X_2[m]\)
\(X[m+N/2]=X_1[m]-W_{N}^{m}X_2[m]\)

复杂度
\(T(n) = 2T(n/2)+O(n)\)

FFT流程图要点
1.过程我以为按照自底向上的写法比较好
2.原输入顺序是经过二进制的翻转(不是反)来确认的

原本考试前画了一张挺漂亮的图但找不到了..
换了一张灵魂做图