图像处理------直方图均衡化

1、直方图均衡化数学推导

    直方图均衡化的整体思想：首先考虑连续函数而且让变量r表明待加强图像的灰度级，假设被归一化到区间[0,1]，且r=0表示黑色及r=1表示白色。而后再考虑一个离散公式并容许像素值在区间[0,L-1]内。

对于连续函数而言，假设其变换函数为    

              s=T(r),  0=<r<=1    

在原始图像中，对于每个像素值r产生一个灰度值s。其中，变换函数要知足如下条件:

（1）T(r)在区间中为单值且单调递增。这是为了保证其逆函数的存在，而且输出图像从黑到白顺序增长；

（2）当0=<r<=1时，0=<T(r)<=1。这保证输出灰度级与输入有一样的范围。

把 s=T(r)的逆函数表示为   

                  

一幅图像的灰度级可被视为区间[0,1]的随机变量。随机变量的一个最重要的基本描述是其几率密度函数。令和分别表明随机变量r和s的几率密度函数。此处带有下标的和用于表示不一样的函数。由基本几率理论获得一个基本结果:若是和已知，且知足条件(1)，那么变换变量s的几率密度函数可由如下简单公式获得：      

                     

所以，变换变量s的几率密度函数由输人图像的灰度级几率密度函数和所选择的变换函数所决定。

在图像处理中一个尤其重要的变换函数: 

               

该被积函数其值为正，而且函数积分是一个函数曲线下的面积，其内含为随机变量r的累积分布函数，因此它遵照该变换函数是单值单调增长的条件，所以知足条件（1）。一样地，区间[0,1]也知足条件(2)。其积分过程以下：

             

用这个结果代替dr/ds，代入上式,取几率为正，获得：

              

由于是几率密度函数，在这里能够得出区间[0,1]之外它的值为0,可见上式中给出的形式为均匀几率密度函数。换句话来讲，上式给出的变换函数会获得一个随机变量，其特征为一个均匀几率密度函数，与的函数形式是无关的。总述以上，能够看出即是一个直方图均衡化的基本原理，该等式右边的意义就是随机变量r的累积分布函数。这样便转化为了求输入图像灰度级的累积分布函数。

      下面开始讨论离散函数。对于离散值，处理的是它函数几率的和，而不是几率密度函数的积分。一幅图像中灰度级出现的几率近似为：

                               

其中，n 是图像中像素的总和，nk是灰度级为的像素个数，L为图像中可能的灰度级总数。式4中变换函数的离散形式为:

                     

所以，已处理的图像(即输出图像)由经过上式，将输入图像中灰度级为的各像素映射到输出图像中灰度级为sk的对应像素获得。与连续形式不一样，通常不能证实离散变换能产生均匀几率密度函数的离散值(为均匀直方图)。可是不论怎样，能够很容易地看出，上式的应用有展开输入图像直方图的通常趋势，以致于直方图均衡化过的图像灰度级能跨越更大的范围。至此，便给出了整个的证实过程。

2、直方图均衡化的通常实现过程：

（1）统计原始输入图像各灰度级的像素数目，,其中L为灰度总级数；

（2）计算原始图像直方图，即各灰度级的几率密度，，n为原始图像的总像素数目；

（3）计算累积分布函数

                             

（4）计算最后的输出灰度级，

        

式中INT[]是取整算符。令gmin=0，gmax=L-1，则计算式简化为

               

（5）用fk（原图像的灰度级函数）和gk的映射关系，修改原图像的灰度级，得到输出图像，其直方图为近似均匀分布。

3、程序说明及代码

      为验证对图片进行直方均衡化的处理效果，编写代码对以上推导进行验证。使用的软件是MATLAB，下面是代码：

clc;

clear all;

img=imread('lena.jpg');

subplot(2,2,1);

imshow(img);                              

title('原图);

gray_img=rgb2gray(img);                      

 

[m,n]=size(gray_img);                          

pr=zeros(1,256);                        

for i=1:256

     pr(i)=length(find(gray_img==i-1))/(m*n);  

end

subplot(2,2,2);

bar(pr) ;             

title('原图的直方图')

S=zeros(1,256);

for i=1:256

     for j=1:i

          S(i)=pr(j)+S(i);              

     end

end

S1=round((S*255)+0.5);                    

for i=1:256

     q(i)=sum(pr(find(S1==i)));         

end

subplot(2,2,4);

bar(q)                 

title('处理后的直方图')

res_img=gray_img;

for i=1:256

    res_img(find(gray_img==i-1))=S1(i);              

end

subplot(2,2,3);imshow(res_img);

title('均衡化后的图效果');

 

下图1是lena.jpg的运行结果图，图2是另外的一副处理图片：