符合人类思惟的动态规划

焦虑唠嗑

首先声明一下，我没有卖焦虑，是我本身焦虑了。其次，要感谢个人师傅，西湖区最帅.....

好了，言归正传，在leetCode评论区你均可以看到 lucifer，简称路西法大佬；他的题解才是符合人类思惟的思考方式，思考的点都是很深刻浅出的。

为何要刷算法呢？由于如今大前端时代，而前端开发确实是比其它领域要稍微简单一点的，注意，我并无说前端领域简单，是入门相对简单。入门简单，就意味着入门的人会很是的多，那怎么在众多的初级前端中脱颖而出呢？我选择了刷算法，刷算法有如下几点好处。

1. 在遇到须要算法的业务需求时候，能够彻底不虚。
2. 能够锻炼本身的逻辑思惟，锻炼内功。
3. 能够更快的学习一些新技术。

到底什么是动态规划

你说的我都会，我也能看得懂，为何一说/看就会，一写就费呢？

由于大多数题解，甚至是leetcode评论区的题解，只会告诉答案，不会告诉你思考答案的方式。或者有些会告诉你怎么思考，可是他们都是经验丰富的dp选手，思考方式彻底不适合新手，一个动态转移方程莫名其妙的就出来了？？？满脸的黑人问号，我曾经也是这样走过来的，再次感谢路西法大佬的指点。

到底咱们要以什么方式来学习动态规划呢？个人建议是硬着头皮先刷点简单的，层层递进，再刷点困难的；刷题的过程当中千万不能浮躁，不要为了AC而AC，而是要经过本身耐心的观察，抽象，练习，概括总结；递归直至理解dp，熟悉dp。真的没有什么快捷的方式，若是有，都是骗人的。这里，结合实战来带你们过一遍，用符合人类的思考方式彻底扒开动态规划的裤子，学习（gandiao）动态规划。

若是你不熟悉动态规划，或者彻底不了解，我建议你先看看我上一篇 动态规划 的文章。

53.最大子序和

好了，咱们直接上菜，先来看看 题目 ；

            

什么样的题目适合用动态规划？

不要多想，咱们先以符合人类最简单的思惟方式暴力求解，再根据状态树考虑如下两点。

那这题怎么暴力呢？直接枚举nums，以nums[i]为起点，不断的加到最后一位，加的过程当中维护一个最大值便可，我写下代码。千万不要看不起暴力求解，是dp的突破口！

咱们来看下这个暴力的状态树，我只画出前面最长的两个分支，其它自行脑补。

       

分析一下这个暴力状态树两个分支，很明显答案都是是 [4,-1,2,1] ，后一个分支比前一个分支少一个-2，也就是问题的规模变小了，答案依然是最优的，这就存在最优子结构。

咱们在算第二个分支的时候，其实前面第一个分支已经算过了，这就是重复子问题。

通常这种最值型，都比较适合dp来求解；如何能快速的用dp求解，就靠你本身去攒经验了。

定义状态是动态规划的定海神针

状态定义的对不对，直接是决定了你的dp方程式对不对，从而决定了你dp的方式对不对；

在【定义状态】以前，咱们先要搞清楚两个东西，一个是【状态】，一个是【选择】；

• 状态：通常直接是题目给定的条件，本题给定的条件就是nums，那每一个状态就是nums[i]
• 选择：对于每一个状态，有几种选择？本题的nums[i]就有两种状况，要么选择nums[i]作为结果，要么就不选择，若是不选择，由于要求连续，就是另起炉灶嘛。

注意：这里的【状态】和【定义状态】是两个东西，【状态】是题目给出的条件，会影响结果的条件，而定义【定义状态】是为了明确dp方程式的含义，以便后面根据状态的变化，利用数学概括法得出状态转移方程，说白了就是找规律。

举个例子，x + y = z，你必需要明确你的x，y，z是啥，你才能写出这样的状态转移方程；

到这里，咱们明确了【状态】和【选择】，而定义好转移方程的状态；咱们必需要有如下两个意识。

1. 化成子问题（问题规模变小）去想，去思考。对应这题，咱们不妨把数组逐渐变小了想。
2. 最后一步是什么，也就是最后一个解；（最优策略中使用的最后一个选择）

以题目为例，nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，最后一步是什么？最优策略中使用的最后一个选择是什么？很明显这道题的最后一个选择是nums[6] = 1，若是【不选择】1，上面咱们说过了，就是另起炉灶；若是选择1，答案就是最终的 [4,-1,2,1]；

根据以上的两点，结合明确的两个东西，一个是【状态】，另外一个【选择】

1. 状态：很明显就是nums[i]，每一个数就是一个状态
2. 状态选择：对于每一个状态nums[i]，咱们有两个选择，要么是选择nums[i]，要么是不选择

到这里，状态的定义咱们就能够很明确的得出来了。

dp[i] = x，表示以 nums[i] 结尾的最大子序和为x； i < nums.length

状态转移方程

必定要想清楚状态的定义，状态的定义直接是决定了你的转移方程对不对，dp的姿式对不对；

根据上面状态的定义分析，咱们来找下规律（数学概括法）；nums[i] 是一个个的状态；对于每一个状态，咱们能够选择，或者不选择，若是选择以nums[i]为结果，那答案就是 nums[i] + dp[i-1]，由于要连续，全部得加上前面的；若是不选择，就是另起炉灶，以nums[i]开头；枚举全部的状态，取两种选择的最大值，不就是答案了吗？这就是状态转移方程了；

dp[i] = max(nums[i]，dp[i - 1] + nums[i])，i > 1

初始条件和边界

由于咱们枚举全部的状态，取两种选择的最大值就是答案，因此边界就是数组长度；初始值是什么呢？很明显就是数组自己，即dp[i] = nums[i]；

代码

必定要明确上面的状态定义，转移方程，边界和初始值才开始写代码，有一点不明白都不能写代码，否则基本一写就费。想清楚了写代码也要很是细心。

152.乘积最大子数组

咱们用一样的套路解决乘积最大子数组

暴力求解就不解释了，同上；

先来明确 【状态】 和 【选择】，这题一样的，状态就是一个个 nums[i]，而对于每一个 nums[i] 状态，一样用是选或不选两个选择；可是这题有一个比较隐晦的条件，须要考虑进去，就是两个数相乘：

• 若是是最大值(假设正数)乘以一个负数，就是最小值
• 若是最小值(假设负数)乘以一个负数，就是最大值

那咱们在枚举全部的状态时候，根据这两个条件，不断的维护最大最小值，遇到负数就乘以最小值，遇到正数就是乘以最大值便可。结果只和最大最小值有关系，那咱们枚举状态不断更新这两个值就能够求出答案了，其实若是是遇到0，状况也是同样的；

状态的定义：

• imin = min(min(nums[i] * imax, nums[i] * imin), nums[i]) 
• imax = max(max(nums[i] * imax, nums[i] * temp), nums[i])

tips：这里要注意，temp = 上次的 imin。

初始条件就是第一个数nums[i]

这里直接给出代码了。QAQ

总结

我觉的dp是最能体现代码功底的，为何呢？由于它难。

必定要多练习，看懂了只是我懂了，你要真懂必须多练；

另外推荐几个我以为写得还不错的文章和视频，没有打广告QAQ

九章dp视频

一个还不错的文章

一个很强的B站博主