算法基础——合并集合

原题连接

题目：

一共有n个数，编号是1~n，最开始每一个数各自在一个集合中。

如今要进行m个操做，操做共有两种：

“M a b”，将编号为a和b的两个数所在的集合合并，若是两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操做；
“Q a b”，询问编号为a和b的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数n和m。

接下来m行，每行包含一个操做指令，指令为“M a b”或“Q a b”中的一种。

输出格式

对于每一个询问指令”Q a b”，都要输出一个结果，若是a和b在同一集合内，则输出“Yes”，不然输出“No”。

每一个结果占一行。

数据范围

1 ≤ n, m ≤ 10^5

输入样例：

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例：

Yes
No
Yes

首先，咱们要知道并查集能够作哪些操做？

1. 并查集能够将两个集合进行合并（并）；

2. 并查集能够判断两个元素是否在同一个集合当中（查）。

基本原理： 咱们将每一个集合用一棵树（不必定是二叉树）来表示，这棵树的树根的编号就是整个集合的编号。而每个节点都存储它本身自己的父节点，在这题中咱们用 p[x] 这么一个数组来存储每个节点（x）的父节点。

Q & A :

Q1 : 如何判断该节点是否为树根节点？（如下的 p[] 数组均存储的是节点的父节点）

A1 ：除了根节点以外的点，p [x] != x ，因此若是 p [x] = x 的话，那么 x 必定就为这棵树的根节点。 对应代码就是:

bool is_root(){
      if(p[x] == x) return true;
      else return false;
}

Q2 ：如何求 x 的集合编号？

A2 ：当 p [x] 存储的节点不等于 x 的时候，那么此时的 x 必定不是根节点，这时咱们就继续往上面的父节点找，直到找到根节点为止，对应代码就是这样的：

int findRoot(){
      while(p[x] != x) x = p[x];
      return x;
}

Q3 : 如何合并两个集合？

A3 ：假设 p[x] 为 x 的集合 1 的编号， p[y] 是 y 的集合 2 编号。此时咱们只须要让集合 1 的根节点连上集合 2 的根节点便可。对应到代码大概讲长这样： p[集合 1 根节点] = 集合 2 根节点

若是要实现以上这些步骤，其实时间复杂度仍是挺高的，这时咱们就要引入一个新的话题，如何将并查集问题进行优化呢？

并查集的优化：路径压缩

如何解释路径压缩？

我的理解： 假设，当 x 所在的这个节点，经过千辛万苦终于找到了它的根节点，那么咱们就让 x 这个节点在找根节点时通过的全部的父节点都会直接指向根节点上。

说了这么多，下面就正式开始进入敲代码环节吧！

首先，咱们须要把 p[] 这个存储每一个节点的父节点的数组给初始化了，咱们让每一个节点的父节点都指向本身也就是：

for(int i = 0; i < n; i++) p[i] = i;

第二步，就是开始写咱们的并查集最最核心的操做了——寻找根节点，同时，咱们须要在寻找根节点的时候，加上并查集的路径压缩，对并查集作优化。

int findRoot(int x){
      if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);      //若是当前 x 不是根节点，咱们就让他的父节点去找根节点，这就在寻找根节点的同时作了路径压缩优化了（妙啊~~~~~）
      return p[x];
}

最后，附上完整AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int N = 100010;

int p[N];
int n, m;

int findRoot(int x){
    if(p[x] != x) p[x] = findRoot(p[x]);
    return p[x];
}

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    
    while(m --){
        char op[2];
        int a, b;
        scanf("%s%d%d", op, &a, &b);
        if(op[0] == 'M') p[findRoot(a)] = findRoot(b);
        else{
            if(findRoot(a) == findRoot(b)) cout << "Yes" << endl;
            else cout << "No" << endl;
        }
    }
    
    return 0;
}

🤪没有啦！感谢阅读！若是以为写的还不错的话，记得点一下右边的大拇指嗷！~