二项分布的方差

在学校的课本上看到二项分布的方差，据说上课也没讲，那么本身瞎证一下。

 

已知：

$$X \sim B(n, p)$$

求证：

$$D(X) = n p (1 - p)$$

 

随机变量 $X$ 的几率生成函数为

$$F(x) = \sum_i P(X = i) x ^ i = \sum_i \binom{n}{i} p ^ i (1 - p) ^ {n - i} x ^ i = {(1 - p + px)} ^ n$$

推一下能够发现

$$D(X) = F''(1) + F'(1) - F'(1) ^ 2$$

$$F'(x) = np (1 - p + px) ^ {n - 1}$$

$$F''(x) = n(n - 1)p ^ 2 (1 - p + px) ^ {n - 2}$$

代入得

$$D(X) = n (n - 1) pp + np - nnpp = np - npp = np(1 - p)$$

 

特殊化到 $X \sim B(1, p)$ ，

$$D(X) = p (1 - p)$$

与两点分布的结论吻合。