全体天然数的和是负十二分之一？

时间 2019-12-11

标签全体天然十二分之一 1/12 繁體版

原文原文链接

“全体天然数的和是-1/12”这个惊人的结论已经在互联网上传播了许多年，那么，全体天然数的和是-1/12，这是怎么来的？算法

一个最通俗，因此也最引人争议的作法，是一种看上去很简单的算术算法：函数

首先令S0=1-2+3-4+5-6……spa

咱们在大学里的学过令它收敛到1/4的方法。blog

再令全体天然数的和为S，减去这个S0，则有：百度

S-S0=0+4+0+8+0+12+0+16+……互联网

　　=4*(1+2+3+4+....)=4S方法

也就是说-S0等于3个S，因此S等于负十二分之一。im

还有个误解在黎曼ζ（zeta）函数的解析延拓有db

获得了印证，让不少人深信不疑。img

下面咱们探讨一下S0和 S到底存不存在：

柯西和（就是高数书上的定义）

级数收敛的必要条件是通常项的极限是0

的通常项是

其极限不是0，因此 S0 不收敛.

的通常项是n ，其极限不是0，因此 S不收敛

Cesaro和

在此以前有必要了解一下Cesaro和的定义，它是部分和的平均，也就是

在Cesaro和的意义下， S0仍是不收敛的。

这是由于 $\sum_{i=1}^{n}s_i$ 奇数项是 $\frac{n+1}{2}$ ，偶数项是0 ，故 $S_0=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}s_i}$ 这个极限根本不存在，也即S0 没有Cesaro和。

广义Cesaro和

那么，咱们再拓展一下，既然一次平均不行，咱们取部分和平均的平均，如何？

$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}s_i)}$ 这就是广义Cesaro和。

很幸运的是，这时候S0 终于能够求和了，它在广义Cesaro和的意义下是 1/4

Ramanujan和（拉马努金和）

Ramanujan断言，对于函数，定义新的和做为Ramanujan和：

$\sum_{k=1}^{\infty}f(k)=-\frac{f(0)}{2}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)$

小结

S0没有柯西和，没有Cesaro和，有广义Cesaro和，有Ramanujan和

S没有柯西和，没有Cesaro和，没有广义Cesaro和，有Ramanujan和

严格来讲，Rmanujan和，已经改变了原来“和”的定义。简单来讲，不知足结合律

举个例子：

假设

$1+2+...=-\frac1{12}$

那么

$0+1+2+...=-\frac1{12}$

$0=-\frac1{12}+\frac1{12}=(1-0)+(2-1)+...=1+1+...$

所以，

显然，不成立

再看下再黎曼ζ函数下的误解：

因为黎曼ζ函数本来的定义是

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}$

（其中s为复数），

若是把s取为-1的话，等号右边就变成了1+2+3+...这样的“全体天然数之和”，彷佛

$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$

就天然推出了“全体天然数之和等于负十二分之一”。可是要注意，原始的黎曼ζ函数是定义在s的实部大于1的区间中的，也就是说原始的ζ(s)在s=-1时根本没有意义。

那么这个

$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$

是怎么回事呢？这里就须要介绍“解析延拓”这个概念。

假设两个函数分别在两个区域中解析，而这两个区域有公共部分，在公共部分上两个函数相等，那么就能够把这两个函数在两个区域的并集上的全体点的数值集，当作一个在两区域的并集上解析的新函数，此时这两个函数就是彼此的解析延拓。具体的例子能够去百度。重点就是， $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$ 是在黎曼ζ函数解析延拓后获得的结果，能够认为此时的ζ(s)含义已经与以前不一样，也天然不能将负十二分之一当作“全体天然数之和”