当有部分数据缺失或者没法观察到时,EM算法提供了一个高效的迭代程序用来计算这些数据的最大似然估计。在每一步迭代分为两个步骤:指望(Expectation)步骤和最大化(Maximization)步骤,所以称为EM算法。python
假设所有数据Z是由可观测到的样本X={X1, X2,……, Xn}和不可观测到的样本Z={Z1, Z2,……, Zn}组成的,则Y = X∪Z。EM算法经过搜寻使所有数据的似然函数Log(L(Z; h))的指望值最大来寻找极大似然估计,注意此处的h不是一个变量,而是多个变量组成的参数集合。此指望值是在Z所遵循的几率分布上计算,此分布由未知参数h肯定。然而Z所遵循的分布是未知的。EM算法使用其当前的假设h`代替实际参数h,以估计Z的分布。算法
Q( h`| h) = E [ ln P(Y|h`) | h, X ]dom
EM算法重复如下两个步骤直至收敛。机器学习
步骤1:估计(E)步骤:使用当前假设h和观察到的数据X来估计Y上的几率分布以计算Q( h` | h )。函数
Q( h` | h ) ←E[ ln P(Y|h`) | h, X ]学习
步骤2:最大化(M)步骤:将假设h替换为使Q函数最大化的假设h`:spa
h ←argmaxQ( h` | h )debug
#coding:gbk import math import copy import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt isdebug = False # 指定k个高斯分布参数,这里指定k=2。注意2个高斯分布具备相同均方差Sigma,分别为Mu1,Mu2。 def ini_data(Sigma,Mu1,Mu2,k,N): global X global Mu global Expectations X = np.zeros((1,N)) Mu = np.random.random(2) Expectations = np.zeros((N,k)) for i in xrange(0,N): if np.random.random(1) > 0.5: X[0,i] = np.random.normal()*Sigma + Mu1 else: X[0,i] = np.random.normal()*Sigma + Mu2 if isdebug: print "***********" print u"初始观测数据X:" print X # EM算法:步骤1,计算E[zij] def e_step(Sigma,k,N): global Expectations global Mu global X for i in xrange(0,N): Denom = 0 for j in xrange(0,k): Denom += math.exp((-1/(2*(float(Sigma**2))))*(float(X[0,i]-Mu[j]))**2) for j in xrange(0,k): Numer = math.exp((-1/(2*(float(Sigma**2))))*(float(X[0,i]-Mu[j]))**2) Expectations[i,j] = Numer / Denom if isdebug: print "***********" print u"隐藏变量E(Z):" print Expectations # EM算法:步骤2,求最大化E[zij]的参数Mu def m_step(k,N): global Expectations global X for j in xrange(0,k): Numer = 0 Denom = 0 for i in xrange(0,N): Numer += Expectations[i,j]*X[0,i] Denom +=Expectations[i,j] Mu[j] = Numer / Denom # 算法迭代iter_num次,或达到精度Epsilon中止迭代 def run(Sigma,Mu1,Mu2,k,N,iter_num,Epsilon): ini_data(Sigma,Mu1,Mu2,k,N) print u"初始<u1,u2>:", Mu for i in range(iter_num): Old_Mu = copy.deepcopy(Mu) e_step(Sigma,k,N) m_step(k,N) print i,Mu if sum(abs(Mu-Old_Mu)) < Epsilon: break if __name__ == '__main__': run(6,40,20,2,1000,1000,0.0001) plt.hist(X[0,:],50) plt.show()
本代码用于模拟k=2个正态分布的均值估计。其中ini_data(Sigma,Mu1,Mu2,k,N)函数用于生成训练样本,此训练样本时从两个高斯分布中随机生成的,其中高斯分布a均值Mu1=40、均方差Sigma=6,高斯分布b均值Mu2=20、均方差Sigma=6,生成的样本分布以下图所示。因为本问题中实现没法直接冲样本数据中获知两个高斯分布参数,所以须要使用EM算法估算出具体Mu一、Mu2取值。code
图 1 样本数据分布orm
在图1的样本数据下,在第11步时,迭代终止,EM估计结果为:
Mu=[ 40.55261688 19.34252468]
极大似然估计
参考文献:机器学习TomM.Mitchell P.137