Java数据结构与算法（第七章高级排序1）

希尔排序

        希尔排序是计算机科学家Donald L.Shell 而得名，他在1959年发现了希尔排序算法。希尔排序基于插入排序，可是增长了一个新的特性，大大提升了插入排序的执行效率。

    插入排序：复制的次数太多

        因为希尔排序是基于插入排序的，因此须要回顾下“插入排除”。在插入排除执行的一半的时候，标记符左边这部分数据项都是排过序的（这些数据之间是有序的），而记右边的数据项没有排过序。这个算法取出标记符所指的数据项，把它存储在一个临时的变量。接着，从刚刚被移除的数据项的左边第一个单元看是，每次把有序的数据项向右移动一个单元，直到存储在临时变量里的数据项可以有序回插。

        下面是插入排序带来的问题。假设一个很小的数据项在很靠近右端的位置上，这里原本应该是值比较大的数据项所在的位置。把这个小数据项移动到在左边的正确位置上，全部的中间数据项（这个数据项原来所在的位置和它应该移动到的位置之间的数据项）都必须向右移动一位。这个步骤对每个数据项都执行了将近N次的复制。虽不是全部数据项都必须移动N个位置可是数据项平均移动了N/2个位置，这就执行了N次N/2个移位，总共是N²/2次复制。所以，插入排序的执行效率是O(N²)。

        若是能以某种方式没必要一个一个地移动全部中间的数据项，就能把较小的数据项移动到左边，那么这个算法的执行效率就会有很大的改进。

n-增量排序

        希尔排序经过加大插入排序中元素之间的间隔，并在这些有间隔的元素中进行插入排序，从而是数据项能大跨度地移动。当这些数据项排过一趟序后，希尔排序算法减少数据项的间隔在进行排序，依次进行下去。进行这些排序时数据项之间的间隔被称为增量，而且习惯上用字母h来表示。图7.1显示了增量为4时对包含10个数据项的数组进行排序的第一个步骤的状况。在0、4和8号位置上的数据项已经有序了。

图 7.1  4-增量排序0、四、和8号数据项

            当对0、4和8号数据项完成排序以后，算法向右移一步，对一、5和9号数据项进行排序。这个排序过程持续进行，直到全部的数据项都已经完成了4-增量排序，也就是说全部间隔为4的数据项之间都已经排列有序。这个过程如图7.2所示（使用更为简洁形象的图例表示）。

            在完成以4位增量的希尔排序以后，数组能够当作是由4个子数组组成：（0、四、8），（一、五、9），（二、6）和（三、7），这四个子数组内分别是彻底有序的。这些子数组相互交错着排列，然而彼此独立。

图7.2 完整的以4为增量的一趟排序

            注意，在这个例子中，在完成以4为增量的希尔排序后，素有元素离它在最终有序序列中的位置相差都不到两个单元。这就是数组“基本有序”的含义，也正是希尔排序的奥秘所在。经过建立这种交错的内部有序的数据项集合，把完成排序所必需的工做量降到了最小。

            插入排序对基本有序的数组排序是很是有效的。若是插入排序只须要把数据项移动一位或者两位，那么算法大概须要O(N)时间。这样，当数组完成4-增量排序以后，能够进行普通的插入排序，即1-增量排序。4-增量排序和1-增量排序结合起来应用，比前面不执行4-增量排序而仅仅应用普通的插入排序要快得多。

减少间隔

            上面已经演示了以4为初始间隔对包含10个数据项的数组进行排序的状况。对于更大的数组，开始的间隔也应该更大。而后间隔不断减少，直到间隔变成1。

            举例来讲，含有1000个数据项的数组可能先以364为增量，而后以121为增量，以40为增量，以13为增量，以4为增量，最后以1为增量进行希尔排序。用来造成间隔的数列（在本例中为364,121,40,13,4,1）被称为间隔序列。这里所表示的间隔序列由Knuth提出，此序列是很经常使用的。数列以逆向的形式从1开始，经过递归表示

h = 3*h+1

来产生，初始值为1。表7.1的前两栏显示了这个公式产生的序列。

表7.1 Knuth间隔序列

            还有一些其余的方法也能产生间隔序列；后面会讲到这个问题。首先，来研究使用Knuth序列进行希尔排序的状况。

            在排序算法中，首先在一个短小的循环中使用序列的生成公式计算出最初的间隔。h值最初被赋为1，而后应用公式h=3*h+1生成序列，一、四、1三、40、12一、364，等等。当间隔大于数组大小的时候这个过程中止。对于一个含有1000个数据项的数组，序列的第七个数字，1093就太大了。所以，使用序列的第六个数字做为最大的数字来开始这个排序过程，做364-增量排序。而后，每完成一次排序例程的外部循环，用前面提供的此公式的倒推式来减少间隔：

            h = （h-3）/3

            它在表7.1的第三栏中显示。这个倒推的公式生成逆置的序列 36四、12一、40、1三、四、1从364开始，以每个数字做为增量进行排序。当数组用1-增量排序后，算法结束。

希尔排序的Java代码

package com.goaji.shellsort;

public class ArraySh{
    private long[] theArray;
    private int nElems;
    
    public ArraySh(int max){
    theArray = new long[max];
        nElems = 0;
    }
    
    public void insert(long value){
        theArray[nElems] = value;
        nElems++;
    }
    
    public void display(){
        System.out.print("A=");
        for (int i = 0; i < nElems; i++) {
            System.out.print(theArray[i] + " ");
        }
        System.out.println("");
    }
    
    public void shellSort(){
        int inner,outer;
        long temp;
        int h=1;
        while(h<=nElems/3)
            h = h*3+1;
        while(h>0){
            for (outer = 0; outer < nElems; outer++) {
                temp = theArray[outer];
                inner = outer;
                while(inner>h-1 && theArray[inner-h]>=temp){
                    theArray[inner] = theArray[inner-h];
                    inner-=h;
                }
                theArray[inner] = temp;
            }
            h = (h-1)/3;
        }
    }
}

public static void main(String[] args) {
    int maxSize = 10;
    ArraySh arr;
        arr = new ArraySh(maxSize);
    for (int i = 0; i < maxSize; i++) {
        long n = (int)(java.lang.Math.random()*99);
        arr.insert(n);
    }
    arr.display();
    arr.shellSort();
    arr.display();
}

//输出：
A=26 87 14 50 14 9 53 37 50 83 
A=9 14 14 26 37 50 50 53 83 87

        能够是maxSize取更大的值，可是也不要太大。对10000个数据项须要将近1分钟的时间来完成排序；

        尽管希尔排序的算法只须要几行代码来实现，可是跟踪这个算法也不是很简单的。

其余间隔序列

        选择间隔序列能够称得上是一种魔法。这里只讨论了公式h=h*3+1生成间隔序列，可是应用其余间隔序列也取得了不一样程度的成功。只有一个绝对的条件，就是逐渐减少的间隔最后必定要等于一，所以最后一趟排序是一次普通的插入排序。

希尔排序的效率

        迄今为止，除了在一些特殊的状况下，尚未人可以从理论上分析希尔排序的效率。有各类各样基于试验的评估，估计它的时间级从O(N³/²)到O(N的7/6次方)。