【数据结构与算法】堆排序总结与实现

本博客总结学习堆排序算法，以一个数组为例，采用大根堆进行升序排序，附有代码实现。

堆排序的思想

堆排序的逻辑是创建在彻底二叉树的基础上。

有两个概念必需要了解：

• 大根堆：每一个结点值都大于等于左右孩子结点值
• 小根堆：每一个结点值都小于等于左右孩子结点值

以大根堆为例，将根结点与最后一个结点交换，弹出根结点，便可获得整个树中的最大值。继续，将剩下的n-1个结点的树再调整为大根堆，再弹出根结点，以此类推，可获得一个有序序列。

问题的关键在于，如何进行堆调整？

咱们把二叉树中每一簇“父结点、左孩子、右孩子”当成一个三元组，从二叉树底层开始，由下往上，依次对每个三元组进行调整，套一两层循环，便可完成堆调整。这是直观的整体思路。

存在一个问题：如何根据父或子结点快速获取三元组？

说白了就是须要创建父结点和孩子结点之间的联系。可经过彻底二叉树的性质来解决。彻底二叉树中，若按照层序遍历对每一个结点进行编号（从1开始），父节点为 k ，则左右孩子结点编号必定为 2 * k 和 2 * k + 1 。根据此性质可在父子结点之间快速互相访问。

把待排序的数组看作彻底二叉树层序遍历的结果，便可应用这个性质。以下图所示：

代码示例

先上代码：

private void heapSort(int[] arr) {
        int len = arr.length;
        //将乱序数组调整为大根堆
        for (int i = len / 2 - 1; i > -1; --i) {
            heapAdjust(arr, i, len);
        }
        //元素出堆、循环堆调整
        for (int i = len - 1; i > 0; --i) {
            //交换i和0两个元素，使用位运算完成
            swap(arr, i, 0);
            //堆调整
            heapAdjust(arr, 0, i);
        }
        //arr排序完毕
    }
    /**
     * 交换数组中两个数，使用位运算
     */
    private void swap(int[] arr, int i, int j) {
        arr[i] ^= arr[j];
        arr[j] ^= arr[i];
        arr[i] ^= arr[j];
    }
     /**
     * 堆调整
     */
    private void heapAdjustOld(int[] arr, int s, int length) {
        for (int i = 2 * s + 1; i < length; i = 2 * i + 1) {
            if (i + 1 < length && arr[i + 1] > arr[i]) {
                ++i;
            }
            if (arr[s] > arr[i]) break;
            swap(arr, s, i);
            s = i;
        }

    }
    /**
     * 堆调整优化方法
     */
    private void heapAdjust(int[] arr, int s, int length) {
        int temp = arr[s];
        for (int j = 2 * s + 1; j < length; j =  j * 2 + 1) {
            if (j + 1 < length && arr[j + 1] > arr[j]) {
                ++j;
            }
            if (temp > arr[j]) break;
            arr[s] = arr[j];
            s = j;
        }
        arr[s] = temp;
    }

堆排序流程

1.将乱序数组调整为大根堆

对于一个杂乱无章的数组而言，一层循环不足以将其调整为大根堆，须要两层。

• 外层循环：至关于从下往上遍历全部的三元组；
• 内层循环：用子函数heapAdjust实现。按照直观思路，此处不该该有循环，直接调整三元组便可（将父结点与某个孩子结点交换）。可是，每次调整后，孩子结点的值发生改变，该孩子结点值可能比下层结点小。所以须要循环对每个发生改变的孩子结点的下层三元组进行修正。

2.元素出堆、循环堆调整

交换根节点与最后一个结点，把最大值移到了数组的末尾。再对前 n-1 个数进行堆调整，再次将最大值移到末尾，依次循环，便可获得升序排序结果。

注意：此处的堆调整不须要第一步中的两层循环，只须要一层，调用heapAdjust便可。由于前 n-1 个数中，只有arr[0]这一个位置不正确，并非彻底乱序，只须要调整这一个位置便可。

堆调整

堆调整是本算法中最核心的部分。即调整以 s 为根的三元组为正确的大根堆/小根堆，并对下层结点进行循环修正。

注意：此方法并不会遍历整颗二叉树，也不能将一棵杂乱的二叉树调整为大/小根堆

本部分代码很巧妙，须要细细品读。每次调整时，并非直接交换父结点值和子结点值，那样会徒增赋值次数。

堆排序特色

• 时间复杂度：最坏O(Nlog2N)，平均性能接近最坏性能；空间复杂度O(1)；
• 不稳定排序；
• 只能用于顺序结构，不能用于链式结构；
• 初始建堆比较次数较多，记录少时不宜采用，记录较多时比较高效。