题解 P4310 【绝世好题】

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知识点:DP , 奇妙思路 , 暴力枚举(?)

一道绝世好题

• 题目要求:

  求 $a$ 的子序列 $b$ 的最长长度,
  知足 $bi\ &\ bi-1\not=0$
  $n \le 1e5 , a_i \le 1e9$

• 暴力思路:

  类比最长上升子序列

  直接 $O(n^2)$ 暴力枚举
  当前要添加的数,以及序列 $b$ 结尾的数

  设 $f[i]$ 表示以$a[i]$结尾的 $b$序列的最长长度
  则: 状态转移方程式为:
  $\large f[i] = max(f[i], f[j]+1)\ (a[i]\ &\ a[j] \not=0)$

  能够取得 $90$ 分的好成绩(大雾)

• 考虑优化

  发现新添加的数,
  只能由:
  在同一二进制位上 , 同为1的数转移而来

  也就是说,
  能够选择 枚举
  新添加的数的 二进制上的1位

  考虑枚举二进制位
  并记录 :
  此二进制位全为为$1$的数 组成的 子序列$b$
  所能达到的最大长度为多少

  设 $f[i]$ 表示 : 最后一位为 $i$ 的 $b$ 数列的最长长度,
  $bit[j]$ 表示 : 二进制第 $j$ 位为 $1$ 的数 , 组成的子序列 $b$ 的最长长度
  $k$ 为 枚举的: $a[i]$ 中 , 二进制上为 $1$ 的二进制位数

  则能够推出新的状态转移方程式:
  $ \large f[i] = max(f[i] , bit[k]+1)$

  这样 就能够少一层循环
  来枚举 新添加的数 可接到 哪些数以后.

  更新完 $f[i]$ 后 , 再用更新后的 $f[i]$ ,
  反过来 更新 $bit[k]$

  对于枚举 $k$ , 可使用 $lowbit()$ , 并取其 $log$ 函数值来得到
  在更新 $f[i]$ 的过程当中取最大的 $f[i]$ 做为答案
  最后优化到了 $O(31 \times n)$ .
  (由于最多只有 $31$ 个二进制位上的 $1$ )

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上代码:

$O(n^2)$ 暴力90分:

#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<algorithm>
const int MARX	= 1e5+10;;
//=============================================================
int n,ans,a[MARX];
int f[MARX];
//=============================================================
inline int read()
{
    int s=1, w=0; char ch=getchar();
    for(; !isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') s =-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar()) w = w*10+ch-'0';
    return s*w;
}
//=============================================================
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),f[i]=1;//读入并初始化
	
	for(int i=2;i<=n;i++)
	  for(int j=1;j<i;j++)
	    if(a[i] & a[j])
		  f[i]=std::max(f[i],f[j]+1),//更新f[i]并找到最大值 
		  ans=std::max(ans,f[i]);
	printf("%d",ans);
}

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$O(31\times n)$ $100$分

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<ctype.h>
#define lowbit(x) (x)&-(x)
const int MARX = 1e5+10;
//=============================================================
int n,ans,a[MARX]; 
int bit[40] , f[MARX];  //具体意义见上文
std::map <int,int> log_2;
//=============================================================
inline int read()
{
	int fl=1,w=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch) && ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') fl=-1;
	while(isdigit(ch)){w=w*10+ch-'0',ch=getchar();}
	return fl*w;
}
//=============================================================
signed main()
{
	for(int i=0,sum=1;i<=31;i++,sum<<=1) log_2[sum]=i; //预处理log函数 
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	  for(int j=a[i],low=lowbit(j);j;j-=low,low=lowbit(j)) //枚举二进制位更新f[i] 
	    f[i]=std::max(f[i],bit[log_2[low]]+1);
	  for(int j=a[i],low=lowbit(j);j;j-=low,low=lowbit(j)) //使用更新过的f[i]更新bit[k] 
	    bit[log_2[low]]=std::max(bit[log_2[low]],f[i]);	
	  ans=std::max(f[i],ans); //取得最大答案 
	}
	printf("%d",ans);
}

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$updata\ on\ 2019.8.13$ 修复了暴力思路的 $bug$ , 并添加了代码