后缀自动机的应用

零.前置：

\(1.init:\)初始状态。

\(2.end:\)结束状态。

\(3.E:\)结束状态\(end\)集合。

\(4.fa(s):parent\)树上\(s\)的父亲节点。

\(5.Reg(s):\)节点\(s\)能达到的\(end\)的集合。

\(6.mx(s):\)节点\(s\)所表明的子串的最长长度。

\(7.mn(s):\)节点\(s\)所表明的字串的最短长度。

\(8.Right(s):\)状态\(s\)出现的右端点集合。

\(9.ST(s):\)节点\(s\)能到达的状态集合（点数）。

一.后缀自动机的性质：

\(1.Right(s)\subset Right(fa(s))\)

\(2.mn(s) = mx(fa(s))+1\)

\(3.s\)所表明的全部串在母串中出现的次数和每次出现的右端点相同。

\(4.\)后缀自动机的\(parent\)树是原串的反向前缀树（把每一个前缀的反串插入到\(Trie\)树中，而且把没有分支的链合并）。

二.如何求拓扑序：

若\(\exists e(u,v)\) 则 \(mx(u) < mx(v)\)；若\(fa(v)=u\)也能获得\(mx(u) < mx(v)\)。因此将节点按照\(mx\)数组排序，能够获得拓扑序（基排\(O(n)\)）。

三.如何求Right(s)：

若只求大小，能够按照逆拓扑序递推；若是还须要求具体节点，须要平衡树（启发式合并）/可持久化平衡树；若是须要动态维护\(|Reg(s)|\)（创建的同时维护），则须要一个数据结构，支持在有根树上加边删边，求子树和，由于有根把子树和转化成链上加减，单点查询而后\(LCT\)便可。

三.如何求ST(s)：

逆拓扑序递推，若求本质不一样，则每一个状态贡献1；若相同算屡次，则每一个状态贡献\(|Right|\)次。

其余应用:

\(1.\)求本质不一样子串数量：\(\sum_{s}mx(s) - mn(s) + 1\)。

\(2.\)求字符串的最小表示：先对\(S+S\)创建\(SAM\)，而后在\(SAM\)上跑，每次贪心走字典序最小的出边，走\(|S|\)步便可。

\(3.\)求两个字符串的最长公共子串：对一个串创建\(SAM\)，而后跑匹配，若是失配则跳\(fa\)。

\(4.\)求后缀树和后缀数组：把反串建\(SAM\)而后\(parent\)树就是后缀树，后缀树上\(dfs\)获得后缀数组。

\(5.\)字典序\(k\)小子串：求\(ST\)而后相似线段树二分的去作。

\(6.\)求本质不一样的子串总长:\(\sum_{s}\sum_{i=mn(s)}^{mx(s)}i\)

\({\color{red}{\text{咕}}}{\color{green}{\text{咕}}}{\color{blue}{\text{咕}}}{\color{brown}{\text{咕}}}{\color{gold}{\text{咕}}}{\color{grey}{\text{咕}}}{\color{purple}{\text{咕}}}{\color{pink}{\text{咕}}}{\color{red}{\text{咕}}}{\color{green}{\text{咕}}}{\color{blue}{\text{咕}}}{\color{brown}{\text{咕}}}{\color{gold}{\text{咕}}}{\color{grey}{\text{咕}}}{\color{purple}{\text{咕}}}{\color{pink}{\text{咕}}}\)