有多个初始状态的 DFA

最近作了一项工做：容许一个 DFA 有多个起始状态（能够称做根: root）。引入这个概念有不少好处，主要体如今 DFA Union 中，这个操做经过 NFA 到 DFA 的转化来完成，算法思想很简单：

建立一个 NFA，该 NFA 只有初始状态是非肯定 (non-DFA) 状态：初始状态只有 ε 转移，这些 ε 转移指向全部要被 Union 的 DFA 的初始状态，而后将该 NFA 转化为 DFA。

由于 NFA 转化 DFA 是 NSpace 的，虽然不少数状况下只有线性复杂度，咱们仍然但愿尽量减少这个复杂度。

对于多正则表达式匹配（Multiple Regular Expression Matching）的 DFA

在建立多正则表达式匹配的 DFA 的过程当中，就有一个 DFA 的 Union 操做，在这个过程当中，若是状态膨胀失去控制，须要使用某种方式对正则表达式集合进行分组，以便抑制这种状态膨胀。分组后会生成多个 DFA ，可是为了应用程序接口方便统一，将这多个 DFA 揉进一个 DFA 对象，每一个分组的 DFA 就须要一个不一样的初始状态(根)。

改善 DFA Union 的性能

有相同 Tail 的多个 DFA

若是用 adfa_build 分别建立了多个不一样的 ADFA(Acyclic DFA, 无环自动机)，在随后的某个时间点，想将这多个 ADFA 进行合并，仍然是 DFA 的 Union 操做，这种状况下 NFA 转 DFA 过程当中的状态膨胀老是线性的，虽然如此，NFA 转 DFA 的过程当中仍然须要大量内存。

虽然以前我也曾想过 DFA 包含多个初始状态(根)的可能性，但一直没有深刻思考，此次通过仔细思考，发现：对于(全部的) DFA 最小化算法，从理论上讲，彻底没有必要限制为单根 DFA，无论有多少个根，算法都能正常工做！惟一须要注意的是，最小化先后的根，在某些应用中须要一一对应起来。

最小化以前的多根 DFA 能够彻底是独立的，惟一的要求是全部 DFA 的状态 ID 属于同一个 ID 空间，这很简单，工程上用同一个 DFA 对象来表达便可，对于 分离的多个 DFA 对象，只须要实现一个 DFA 包装器，将多个分离的 DFA 的状态 ID 从新映射便可。

如此，就完成了执行多根 DFA 最小化的全部准备。最小化完成以后，这些多个 DFA 会共享一些相同的尾部，通常状况下，头部不会共享；不过极端状况下，例如 DFA1 是 DFA2 的子集，那么，从 DFA2 的根就能到达 DFA1 的根，此时整个 DFA1 就被彻底共享了。

执行 DFA Union

全部的尾部都被最小化了，而后再用 NFA 转化 DFA 的方式执行最小化，这样，大大减少了 NFA 转 DFA 的时间和内存消耗。

动态 DFA 匹配多个正则表达式

细节可参考：多正则表达式匹配 (Multiple Regular Expression Matching) 中的动态 DFA 算法

主要有两点：

1. 多个子 DFA 在 regex_build 时使用最小化算法获得一个包含多个根，一个尾的 DFA
2. 动态 DFA 是多个子 DFA 的并集，由于并集的彻底 DFA 没法构造出来（状态的指数爆炸），动态地从DFA并集的NFA构造并集的部分DFA
3. 用正则表达式集合的并集的动态DFA搜索到具体匹配的正则表表达式ID以后，从该ID的根出发，去抽取括号部分

实现

在实现这个概念的过程当中，对个人 adfa_minimize 作了一些重构，同时也进行了一些优化。