算法小专栏：动态规划（一）

级别： ★☆☆☆☆
标签：「算法」「DP策略」「动态规划」
做者： MrLiuQ
审校： QiShare团队

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本篇将介绍动态规划相关知识。

1、简介

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）。

它的核心思想是把一个复杂的大问题拆成若干个子问题，经过解决子问题来逐步解决大问题。

注意：使用动态规划思想有个前提：当且仅当每一个子问题都是离散的（即每一个子问题都不依赖于其余子问题时），才能使用动态规划。

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2、动态规划之“0-1背包问题”

如今有这么一个场景， “你”是一名“小偷”，你带了个包去“偷东西”，。

条件1：每一个商品只有一个，要么拿，要么不拿。（0-1背包问题） 条件2：你最多拿得动4kg的东西。（固定大小，可不装满）

商品	价格	重量
商品A	3000元	4kg
商品B	2000元	3kg
商品C	1500元	1kg
商品D	2000元	1kg

在有限的重量条件下，如何**“偷”**，赚的钱最多？

方案一：简单算法（可行，不推荐）

暴力枚举出全部商品的排列组合， 舍去全部超出重量要求的组合， 从中挑一个最大的。

可行，可是太慢了，每多一件商品都会多2倍的组合。

方案测评：时间复杂度 O(2ⁿ)，超级超级慢，不推荐。

方案二：贪心算法（不可行）

用上篇介绍的贪心算法计算。

经过某个贪心策略（拿最贵的、拿性价比最高的商品）来得出近似解。

方案测评：这种方案接近最优解，是近似解，但不必定是最优解，故不可行。

方案三：动态规划（可行，推荐）

• 原理：先解决子背包最优，再解决大背包最优。

先绘制出一张表格，一会咱们一列一列慢慢填。（PS：体会动态规划的算法过程）

表格：（实际上对应了一个二维数组）

商品\ 子背包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A
商品B
商品C
商品D

先解读一下这个表格， 行：表明了商品行（对应i）， 列：表明了重量列（对应j）， 格：表明当前的已有的商品、已有重量下所能拿的最大价值。

好了，下面咱们开始一列一列的填：

第一行，只有商品A（价值：3000，重量：4kg）

商品\ 子背包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/
商品B
商品C
商品D

第二行，有商品A（价值：3000，重量：4kg）与商品B（价值：2000，重量：3kg）

商品\ 子背包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/
商品B	/
商品C
商品D

第三行，有商品A（价值：3000，重量：4kg）、商品B（价值：2000，重量：3kg）商品C（价值：1500，重量：1kg）

商品\ 子背包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/
商品B	/
商品C	1500
商品D

第四行，有商品A（价值：3000，重量：4kg）、商品B（价值：2000，重量：3kg）、商品C（价值：1500，重量：1kg）、商品D（价值：2000，重量：1kg）

商品\ 子背包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/
商品B	/
商品C	1500
商品D	2000

你们有没有发现，这里填写每一个表格时的算法可表示为：

对应行的商品的重量超过当前子背包的重量，就取上一行单元格的值， 商品的重量能装下当前子背包，则取下面二者的较大值：

• 上一个单元格的值（cell[i-1][j]）
• 当前商品的价值 + 剩余空间的价值（cell[i-1][j-当前商品的重量所对应的列号]）

下面填第二列：

商品\ 子背包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/	/
商品B	/	/
商品C	1500	1500
商品D	2000	3500

第三列：

商品\ 子背包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/	/	/
商品B	/	/	2000
商品C	1500	1500	2000
商品D	2000	3500	3500

第四列：

商品\ 子背包最大重量	1kg	2kg	3kg	4kg
商品A	/	/	/	3000
商品B	/	/	2000	3000
商品C	1500	1500	2000	3500
商品D	2000	3500	3500	4000

于此反复判断便可，这样每一个单元格都是最优解，经过解决子问题，推导出最终最优解。 这就是动态规划，是否是很简单呢？

转换成Python代码：

def package_dp(a, b, flag, n):
    c = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    for j in range(n):
        c[0][j] = 0

    for i in range(n):
        c[i][0] = 0
        for j in range(n):
            if b[i]>flag[j]:
                c[i][j] = c[i-1][j]
            else:
                temp1 = a[i] + c[i-1][j-b[i]]
                temp2 = c[i-1][j]
                c[i][j] = max(temp1,temp2)
            print c[i][j]
        print ("")
    return c

price = [0, 3000, 2000, 1500, 2000]
weight = [0, 4, 3, 1, 1]
flag = [0, 1, 2, 3, 4]

package_dp(price, weight, flag, 5)
复制代码

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3、细节问题

• 子背包拆分问题：按照 全部商品 的最大公约数（也有可能存在小数）去拆子背包。 让全部的商品都能被恰好装下。

• 经过子背包的最优解 => 推导出 => 全背包的最优解。 这个过程的思想，就是DP思想（动态规划的核心思想）

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4、动态规划的应用场景

本文举了背包与矩阵连乘的例子，其实思路都是同样的。 只是应用场景不一样，常见的应用场景有如下几个：

• 0-1背包问题（ ✔️）
• 矩阵连乘法（ ✔️）
• 硬币找零
• 字符串类似度
• 最长公共子序列
• 最长递增子序列
• 最大连续子序列和/积
• 有代价的最短路径
• 瓷砖覆盖（状态压缩DP）
• 工做量划分

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参考资料：

• 常见的动态规划问题分析与求解
• 动态规划算法之矩阵连乘问题思路

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