SZOJ 150 生命众筹

题目描述
有m个法师，n座山，法师在山上膜蛤，给他续命

第i座山到前一座的距离是di, 第i个法师在第hi座山上，他续命须要的时间是ti （也就是ti时间以后这个生命就能够收集了，若是没有及时收集，就会在原地等待收集）

他有p个手下从第一座山出来收集法师们续出来的生命，一路走过去，收走准备好的生命之力，若是这个生命之力没收集好，他就直接过去

你要合理手下们出发的时间

由于生命之力很是珍贵，因此一旦产生就要尽快收集，如今他想知道，续好的生命之力等待收集的时间总和最少是多长

移动的时间就是移动的距离

输入格式
第一行输入三个整数 n, m, p (2≤ n ≤ 10^5, 1 ≤ m ≤ 10^5, 1 ≤ p ≤ 100 ).

第二行输入n−1个数d2, d3, …, dn(1 ≤ di ≤ 10^4)

接下来m行每行两个整数hi,ti(1 ≤ hi ≤ n, 0 ≤ ti≤ 10^9)

输出格式
输出一个整数，表示生命之力等待收集的时间之和

输入样例
4 6 2
1 3 5
1 0
2 1
4 9
1 10
2 10
3 12
输出样例
3
数据规模
对于40%的数据，n,m≤300
对于100%的数据 2≤ n ≤ 10^5, 1 ≤ m ≤ 10^5, 1 ≤ p ≤ 100,1 ≤ di ≤ 10^4,1 ≤ hi ≤ n, 0 ≤ ti≤ 10^9

 

先将每一个法师产生生命之力的时间减去他到起点的距离，ai=ti-si，这样就至关于在等待ai秒后出发刚好能收集到ti，这样的好处是，咱们只需对ai排序后处理，由于对于ai若能被收集到，则aj必定能被收集到(j<i)，只是时间上不恰好

w(i,j)=(j-i)*a[j]-(sum[j]-sum[i])

dp[i][j]=min{dp[i-1][k]+w(k,j)}

80分写出dp式子便可

100分须要斜率优化

斜率优化就是要保证一个图像，其中相邻的段数自小到大保证上升斜率

一下是证实，和计算斜率函数f(u,v)的求解

//由于原本在txt里打的因此复制上来粘成一坨。。。因此放在代码里好了

dp[i][j]=min(dp[i-1][k]+w(k,j))
dp[i][j]=min(dp[i-1][k]+(j-k)*a[j]-(sum[j]-sum[k]))
令 决策u,v u<v
dp[i][u]==dp[i-1][u]+(j-u)*a[j]-(sum[j]-sum[u]).....1
dp[i][v]==dp[i-1][v]+(j-v)*a[j]-(sum[j]-sum[v]).....2
1-2-->dp[i][u]-dp[i][v]=dp[i-1][u]+(j-u)*a[j]-(sum[j]-sum[u])-(dp[i-1][v]+(j-v)*a[j]-(sum[j]-sum[v]))
-->dp[i][u]-dp[i][v]==dp[i-1][u]-dp[i-1][v]+(v-u)*a[j]+sum[u]-sum[v]
-->dp[i][u]-dp[i][v]==dp[i-1][u]+sum[u]-(dp[i-1][v]+sum[v])+(v-u)*a[j]
若dp[i][u]-dp[i][v]<0,则 dp[i-1][u]+sum[u]-(dp[i-1][v]+sum[v])+(v-u)*a[j]<0  .....u比v优
dp[i-1][u]+sum[u]-(dp[i-1][v]+sum[v])+(v-u)*a[j]<0  u<v --> .....3
a[j]<{dp[i-1][u]+sum[u]-(dp[i-1][v]+sum[v])}/(u-v)
a[j]>0,因此当u<v,决策u比v更优
f(u,v)={dp[i-1][u]+sum[u]-(dp[i-1][v]+sum[v])}/(u-v),若知足a[j]<f(u,v),u比v优,反之v比u优

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而后利用队列优化

注意在每次计算dp的值前，先扫描一遍队列，若f(head,head+1)<a[j]，则删去head(head+1比head更优，则更新时不可能再用到head)

再计算完dp值后，对于当前的j咱们要放入队尾，此时咱们面临着两种状况

f(tail,j)>f(tail-1,tail)，则直接加入队尾，由于斜率上升符合条件

反之则删除tail，知道知足上一行为止

注意计算f(x)函数时要分红分母和分子，防止分母有0

代码：(贼短)

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,p,d[100001],h[100001],t[100001],head,tail,que[100001];
long long ans=1000000,s[100001],a[100001],f[101][100001],sum[100001];
inline long long up(int i,int u,int v){
    return f[i-1][u]+sum[u]-f[i-1][v]-sum[v];
}
inline long long down(int x,int y){
    return x-y;
}
inline void Jimmy(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        scanf("%d",&d[i]),s[i]=s[i-1]+d[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)    
        scanf("%d%d",&h[i],&t[i]),a[i]=t[i]-s[h[i]];
    sort(a+1,a+1+m);
    for(int i=1;i<=m;i++)    
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)    
        f[1][i]=i*a[i]-sum[i];
    ans=f[1][m];
    for(int i=2;i<=p;i++){
        head=tail=1;que[1]=0;
        for(int j=1;j<=m;j++){
            while(head<tail && up(i,que[head],que[head+1])>down(que[head],que[head+1])*a[j]) head++;
            f[i][j]=f[i-1][que[head]]+(j-que[head])*a[j]-(sum[j]-sum[que[head]]);
            while(head<tail && up(i,que[tail],j)*down(que[tail-1],que[tail])<up(i,que[tail-1],que[tail])*down(que[tail],j)) tail--;
            que[++tail]=j;
        }
        if(ans>f[i][m]) ans=f[i][m];
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
    Jimmy();
    return 0;
}

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