体现公平性公式在规划问题中的应用

本文是在Optaplanner创始人 Geoffrey De Smet先生的一篇文章《Formula for measuring unfairness》的基础上进行翻译而成。由于其博文发表在Optaplanner的官网上，所以，其行文过程当中存在必定的上下文默认状况，若是直译原文，将会大大下降其可读性。所以，本文是在原文的基础上添加一些本人修饰的表达而成。

负载均衡在Optapalnner的应用案例中是一种极为常见的约束，特别是作一些人员排班等场景，各人的工做量须要尽量公平分配。可是，提及来容易作起来难。本篇让咱们来研究一下这个具挑战性的问题。

本文中，咱们使用如下案例：有15个烦人的任务，须要分配给5个员工，每一个任务需时1天来完成，且每一个任务都有不一样的人员技能要求。

何谓公平？

咱们先来看看两个关于公平，但又对立的定义：

1. 若是大多数员工都认为对本身公平的，那这个方案就是公平的。
2. 对于分得最多任务的员工而言，其所分的任务越少，则这个安排就越公平。（即越平均越公平）

很显然，由于咱们想将方案调整到对全部人都是平等，第2个定义更正确。此外，若是为了让几乎全部人都高兴，咱们把全部任务都分配给一我的（例如都分给阿Ann），那么她极可能立刻就走人了。所以，这种想法不可行。以下表：

按公平性对各个方案进行排序

咱们来看看同一问题下的若干任务分配方案，都是15个烦人的任务：

以上是将7个方案的公平程度，从高到低排列。也许这些方案有些是不可行的，由于有些任务是有特定的技术要求。从上表能够看出，全部方案中，阿Ann都知足"分到最多任务"的条件。那么，咱们如何对比阿Ann具备相同任务数的两个不一样方案呢？

咱们截取阿Ann的任务数相同的两个方案(C和D)以下表：

在这种状况下，咱们看看除最不公平的Ann之外，正处于第二不公平的员工Beth的任务分配状况, 在此基础上，咱们最小化她的任务，按照公平定义的第2条，因阿Ann的任务任务数在两个方案中不变，这两个方案中，对于分得第二多任务的Beth,若分得的任务越少，则越公平。

综上，咱们找到了公平性的定义 - 尽量平均，那么咱们应该如何实现它呢？

衡量公平的方式

理想状况下，咱们想经过计算出一个惩罚性分值，用于衡量一个方案的公平性。分值越低越公平。咱们应该如何计算这个分值呢？咱们先来看看一些公式。

离均差

由于在完美公平的分配方案中，全部的员工分得的任务数是平均的，若是咱们简单地加总每一个员工的任务数，再与均值对比，会怎么样？

咱们先看看绝对离均差与平均离均差两个公式，并对上表的各个方案进行，使用这两个公式进行计算：

绝对离均差：

平均离均差：

两个衡量公式计算出来的结果以下：

上表的测量结果至关糟糕。在表中：

1. 对比方案B与方案C（两个方案的公式计算结果值同样），它们公平性同样吗？不是的，由于两个方案中，各人的任务数不一样。
2. 再对比方案D与方案E，前者两公式的计算结果都比后者高，那么方案D真的比方案E差吗？也不是的，问一下阿Ann就知道了，方案E中她居然分得6个任务。

方差与标准差

在统计学上，方差与标准差用于计算数据的离散程度。听起来好像正知足咱们需求，咱们来看看相关公式：

方差：

标准差：

离均差的平方：

方差乘以n

离均差的平方根：

四种公式的计算结果：

上表可见，这四个公式对于公平性衡量结果已经不错，但仍未够理想。例如按4个公式计算结果一致的方案D和E，理论上应该是具备相同的公平程度的，但事实上这两个方案公平性并不一致。

最大值

若是咱们对每一个方案中，取最大任务数，做为公平性的衡量标准会怎么样呢？

其公式应该是:

那么应用于7个方案，其结果是：

这种衡量方式比方差还糟，它只关注一个员工（任务数最大那个）。所以，这种方式彻底抛弃了员工之间的公平性。若是只是针对一个员工衡量其公平性还可行，但当对数据众多的员工一块儿衡量时就不行了。

任务数列

若是咱们不使用任何公式做为公平性衡量标准，咱们把所每一个方案中，每一个员工的任务数都列出来，造成一个任务数的数列，并从小到大把这数列排序，会怎么样？

从上表能够看，能够完美地对比各方案的公平性！那么在Optaplanner里要实现这种衡量方式，咱们须要针对每一个员工定一个分数级别，Optaplanner会按分数级别进行排序，来找最佳方案。可是，若是咱们须要排的员工数量很是大呢？要实现这种衡量方式，除了在运行过程要消耗大量的内存外，如此大数量的评价级别，会与其它约束产生冲突，也难以实现。

不存在单独的约束

在规划问题中，公平性是一种典型的软约束。但在同一个规划问题中，同时存在其它软约束，这些约束也是须要进行优化考虑的。所以，咱们须要为这些约束添加相应的权重，令它们互相制衡。

举例

例如一样是上述的任务分配规划问题，存在一个称为优先级约束，它的重要性是10倍于公平性约束。咱们再往这个问题中添加1500个任务，咱们看看其分配方案开来是怎样的：

计算软约束分数时，咱们把公平性约束分数乘以５倍并加总，再取负。

接下来咱们开始处理：

用单一数值表示

每一个方案的任务数列并不表明一个单独的数值，由于这个数列中的每一个数，对应于不一样的评分级别。所以，任务数列没法跟优先级约束进行综合评价。以下表：

惩罚分数随着违反次数的增加而增加

如何咱们将问题扩展到1500个员工，咱们会发现，若取最大任务数做为约束，则该约束会被优先级约束矮化。

相似地，平均离均差、方差及标准差等衡量方式，其公平性，也会随着数量（即问题规模，经过任务与员工的数量体现）增大，而被矮化。以下表：

所以，随着公平性约束违反量的增多，衡量公平性的比重也应该随之增大。

公平性违反比重，不能随着违反量的增大而逞指数式增加

另外一方面，当数据量增大时，公平性的违反比重不能对其它的约束起到矮化做用。若是使用方差做为衡量方式则会出现此状况，见下表。

结论

对于上述讨论到的公平性衡量方式：

• 绝对离均差做为公平性衡量方式时效果最差。
• 离均差的平方根做为公平性衡量方式，未尽完美但够用。

所以，推荐的方法是离均差的平方根：：

其效果见下表：

补充说明

处理的问题中，若存在非均等员工时。例如，有些员工的工做时候只有其它员工的一半，在将其代入公式计前，须要将他们可分配的任务数乘上他们FTP(full time equivalent,全职时间等价值)的倒数。其它须要考虑非均待员工的因素（例如残疾或人才保留对象），也可使用相似的方法，或使用一些单独的约束进行区分，具体办法需视现实的业务需求而定。

 

原文地址：

Formula for measuring unfairness​www.optaplanner.org

 

如需了解更多关于Optaplanner的应用，请发电邮致：kentbill@gmail.com
或到讨论组发表你的意见：https://groups.google.com/forum/#!forum/optaplanner-cn
如有须要可添加本人微信（13631823503）或QQ(12977379)实时沟通，但因本人平常工做繁忙，经过微信,QQ等工具可能没法深刻沟通，较复杂的问题，建议以邮件或讨论组方式提出。(讨论组属于google邮件列表，国内网络可能较难访问，需自行解决)