最小生成树Kruskal

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决一样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不一样的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中全部e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中全部的节点都在同一个连通份量中

                if 这条边链接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通份量中

                                         添加这条边到图Graphnew中

 

图例描述：

首先第一步，咱们有一张图Graph，有若干点和边 

将全部的边的长度排序，用排序的结果做为咱们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，咱们率先选择了边AD。这样咱们的图就变成了右图

在剩下的变中寻找。咱们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推咱们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管如今长度为8的边是最小的未选择的边。可是如今他们已经连通了（对于BC能够经过CE,EB来链接，相似的EF能够经过EB,BA,AD,DF来接连）。因此不须要选择他们。相似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。固然咱们选择了EG。最后成功的图就是右：

3.简单证实Kruskal算法

对图的顶点数n作概括，证实Kruskal算法对任意n阶图适用。

概括基础：

n=1，显然可以找到最小生成树。

概括过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，咱们把最短边的两个端点a和b作一个合并操做，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就可以获得一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'能够用Kruskal算法获得。

咱们证实T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，若是T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，不然，能够用<u,v>加入到T中，造成一个环，删除环上原有的任意一条边，造成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。因此W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。因而假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学概括法，Kruskal算法得证。

4.代码算法实现

typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看作边表         
    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
}MGraph; 
 
typedef struct node  
{  
    int u;                                                 //边的起始顶点   
    int v;                                                 //边的终止顶点   
    int w;                                                 //边的权值   
}Edge; 

void kruskal(MGraph G)  
{  
    int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  
    int vset[VertexNum];                                    //辅助数组，断定两个顶点是否连通   
    int E[EdgeNum];                                         //存放全部的边   
    k=0;                                                    //E数组的下标从0开始   
    for (i=0;i<G.n;i++)  
    {  
        for (j=0;j<G.n;j++)  
        {  
            if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)  
            {  
                E[k].u=i;  
                E[k].v=j;  
                E[k].w=G.edges[i][j];  
                k++;  
            }  
        }  
    }     
    heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按权值从小到大排列       
    for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组   
    {  
        vset[i]=i;  
    }  
    k=1;                                                   //生成的边数，最后要恰好为总边数   
    j=0;                                                   //E中的下标   
    while (k<G.n)  
    {   
        sn1=vset[E[j].u];  
        sn2=vset[E[j].v];                                  //获得两顶点属于的集合编号   
        if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树   
        {
            printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       
            k++;  
            for (i=0;i<G.n;i++)  
            {  
                if (vset[i]==sn2)  
                {  
                    vset[i]=sn1;  
                }  
            }             
        }  
        j++;  
    }  
}  

时间复杂度：elog2e  e为图中的边数