标准差的由来

做者：香川群子

原文地址：http://www.6sq.net/thread-178075-1-1.html

开始学习。

首先，对一个可测量的计量型品质特性值，
咱们知道因为世界上不存在彻底同样的东西，
那么当测量精度足够时，
N个对象就能够获得N个不彻底相同的计量数值。

对于这一组不一样的对象数值，
咱们但愿知道他们的均匀性或者说差别特性，
以便了解对象品的整批批次特性，
而且但愿是获得定量而不仅是定性的评价结果。
这样就产生了数学评估的要求。


咱们前辈的数学研究，首先发现了平均值，
即数值总和除以样本数。
这个数学平均值能够大体告诉咱们，
该特定批次的总体水平，和基准要求的差别，
若是平均值比基准大，那么咱们通常能够认为整批物品中，
大于基准的多一些。反之，若是平均值小，那么小于基准的会多一些。

且慢，真的都是这样子的吗？

咱们长期的经验发觉，若是该批次物品特性值不是天然均匀分布的话，
即若是个别值特别大或特别小，那么平均值将被显著拉高或压低。
（如，一个天然村中出了一个千万富翁，那么村里你们的平均资产均可能一会儿超过实际几倍。）

为此，首先引入了中位值的概念，做为参照。

可是，发觉中位值的做用颇有限呢……。


因而继续研究，很快，人们发现，
能够计算一下每一个个体值和平均值的差，称“均差”
当即就能发现，个体和平均值之间的差别有多大了。

但是，这样作是对每一个个体的评估，
若是要只用一个数值指标来评估的话，那该怎么办呢？


因而，首先想到了把“均差”进行数学平均计算，
可是，很遗憾地发现，若是是几何对称分布的话，
那么“均差”的数学平均值可能趋近于零，而该批次的均匀性却仍然不好。

为何会这样子呢？
由于“均差”自己有正有负，直接做数学平均的话，差别会相互抵消。

怎么办哪？急死人了！

偶然中，有人想到了平方运算的取正做用，
把每一个“均差”平方运算之后，再取其数学平均值，
即“均差”的总和除以样本数，（这个尚不是如今的标准方差）
呵呵，很理想地找到了这个评估值和样本差别性之间的线性相关……。

后来，数学家为了保证计算值和实际值的单位统一，
（这个值和实际值的单位是平方关系。）
所以提出了把这个值再开平方一次，以保证它仍然是一次幂单位……。

至此，标准方差正式诞生了。


标准方差的计算公式是：
1。求每个数与这个样本数列的数学平均值之间的差，称均差；
2。计算每个差的平方，称方差；
3。求它们的总和，再除以这个样本数列的项数获得均方差；
4。再开根号获得标准方差！


分析：
标准方差主要和分母（项数）、分子（无极性误差）有直接关系！
这里的误差为每个数与平均值的差别，平方运算后以去除正负极性。
为保持单位一致，再开方运算。


几个适用的理解：
1.数据总体分布离平均值越近，标准方差就越小；
数据总体分布离平均值越远，标准方差越大。
（标准方差和差别的正相关）


2.特例，标准方差为0，意味着数列中每个数都相等。
（一组平方数总和为零时，每个平方数都必须为零）


3.序列中每个数都加上一个常数，标准方差保持不变！
（方差自己是数值和平均值之间做比较，常数已被相互抵消。）


4。标准方差主要反映的是数列总体对于数学平均值的偏移分布特性，
不论它是往那个方向。


5。个别值对数学平均值的偏移越大，对标准方差的值的增大贡献越大。
而且这个贡献是因为平方运算而被显著化（扩大化）了的。


6。即便数学平均值和标准方差值都相同，但两个实际数列对数学平均值的几何分布也有可能不一样。


7。仅当两个数列的几何分布相同或相似时，用标准方差来评估他们的差别是比较可行的。


8。因为假定大部分状况下，对象的几何分布是随机正态分布的，
所以，用标准方差的大小来评估他们的组内数据差别是可行的。


9。……待增补。
一会儿写这么多，挺累的。

这是我本身对标准方差评估方法产生的一个推测，错误地方也许不少，请指正。

所以，个人理解，标准方差虽然是对客观数列的一个客观评估方式，
但它自己就是人为规定的一种方法，不能彻底称之为绝对科学内容。

随着人类科学的进步，从此也许能够发明更理想的评估方式。

呵呵。