动态规划算法3——最长上升子序列

今天咱们要讲的是最长上升子序列（LIS）。

 

【题目描述】

给定N个数，求这N个数的最长上升子序列的长度。

【样例输入】

7

2 5 3 4 1 7 6

【样例输出】

4

 

什么是最长上升子序列？ 就是给你一个序列，请你在其中求出一段不断严格上升的部分，它不必定要连续。

就像这样：2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的两种选取方案。最长的长度是4.

那么，怎么求出它的最大上升子序列长度为4呢？这里介绍两种方法，都是以动态规划为基础的。

 

首先，咱们先介绍较慢（O（n2n2））的方法。咱们记num为到这个数为止，最长上升子序列的长度。

这种方法就是每一次寻找“能够接下去的”，换句话说，设原序列为a，则

当aj<ai(j<i)aj<ai(j<i)且numj+1>numinumj+1>numi时，numi=numj+1numi=numj+1。

对于每个数，他都是在“能够接下去”的中，从前面的最优值+1转移而来。

所以，这个算法是能够求出正确答案的。复杂度很明显，外层i枚举每一个数，内层j枚举目前i的最优值，即O（n2n2）。

 

那么，有没有更快的方法呢？固然有。这回要用到二分。

咱们回想一下，在上面O（n2n2）的程序中，哪些地方看起来比较费时？

没错，就是内层用于更新i的循环。由于每一次他都要查找一遍，效率并不高。

回到题目，咱们发现，他只要咱们求长度，因此？

咱们能够模拟一个栈。

因此每遇到一个比栈顶元素大的数，就放进栈里，遇到比栈顶元素小的就二分查找前边的元素，找到一个“最应该被换掉的元素”，用新数去更新前边的元素。

这个算法不难证实也是正确的。由于前面每一次的枚举都换成了二分，内层的复杂度从nn降到了log2log2，外层不变。因此总的复杂度是O(nlog2nnlog2n)。

 

接下来，我先给出朴素算法的代码。

#include<cstdio>
const int MAX=1001;
int a[MAX];
int lis(int x)
{
    int num[MAX];
    for(int i=0;i<x;i++)
    {
        num[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i]&&num[j]+1>num[i])
                   num[i]=num[j]+1;
        }
    }
    int maxx=0;
    for(int i=0;i<x;i++)
        if(maxx<num[i])
            maxx=num[i];
    return maxx;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    return !printf("%d\n",lis(n));
}

这个则是二分算法的代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=200001;

int a[MAXN];
int d[MAXN];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    d[1]=a[1];
    int len=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>d[len])
            d[++len]=a[i];
        else
        {
            int j=std::lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
            d[j]=a[i]; 
        }
    }
    printf("%d\n",len);    
    return 0;
}

相似的，咱们能够经过二分查找中改变“上确界”和“下确界”，以及符号（“<”和“<=”或“>”、“>=”等），求出最长不降低、不上升、严格降低子序列等问题。