PageRank的基本原理以及个性化PageRank在推荐系统的应用

阅读LBSN中的位置推荐的一些文献时，遇到了一种用个性化PageRank算法来进行位置推荐的算法，虽然以前也大体了解过PageRank算法，但不细致，此次特地作一个整理总结。

PageRank算法

1、什么是PageRank

PageRank，中文通常叫佩奇排名或网页排名，是利用网页简单的超连接来计算网页的分值，从而给网页进行排名的一种算法，以Google公司创办人Larry Page之姓来命名。Google用它来体现网页的相关性和重要性，在搜索引擎优化操做中是常常被用来评估网页优化的成效因素之一。

它的思想是模拟一个清闲的上网者，上网者首先随机选择一个网页打开，而后在这个网页上呆了几分钟后，跳转到该网页所指向的连接，这样无所事事、漫无目的地在网页上跳来跳去，PageRank就是估计这个清闲的上网者分布在各个网页上的几率。

2、简单的PageRank模型

互联网的网页能够看做是一个有向图，其中网页是结点，若是网页A有连接到网页B，则存在一条有向边A-->B，下面是一个简单的示例：

这个简单的网络中只有四个网页，若是当前在A网页，因为A有3条出链，则上网者将会各以1/3的几率跳转到B、C和D。因此若是一个网页有$k$条出链，那么该网页跳转到任意一个出链上的几率时1/k，同理D到B、C的几率各为1/2，而B到C的几率为0 。访问一个网页的几率由连接到它的全部网页的几率来决定，例如网页A由B、C两个网页连接，则：

$$ P(A)=P(C)+\frac{P(B)}{2} $$

每一个网页的访问几率能够用一个向量进行表示，则全部网页的跳转几率能够用户一个用转移矩阵来表示，当一个网络中有n个网页结点时，则转移矩阵M是一个$n\times n$的方阵。所以上面示例图对应的转移矩阵以下：

初始时，假设上网者在每个网页的几率都是相等的，即$\frac{1}{n}$，因而初始的几率分布就是一个全部值都为1/n的n维列向量$V_0$，用$V_0$去右乘转移矩阵，就能够获得下一步对每一个网页的访问几率$V_1$：

以后的过程就是一个不断的迭代过程，用获得的网页访问几率去右乘转移矩阵，直到达到一个收敛的状态。能够发现，这是一个马尔科夫过程，即当前的状态仅由它前一个状态来决定。

3、终止点问题

咱们知道，要知足马尔科夫过程的收敛性，须要具有一个条件，即图要是强连通的。

而互联网上的网页不知足强连通的特性，由于有一些网页不指向任何网页，因此当上网者到达这类网页时，他将无法跳转到其余的网页，所以一直迭代下去，会致使全部网页的访问几率都为0；

如上所示，网页C不指向任何一个网页，其对应的转移矩阵为：

用初始的访问几率右乘转移矩阵，而后一直迭代下去，则最终全部的访问几率都变为0：

4、 陷阱问题

另一个问题是陷阱问题，即有些网页不存在指向其余网页的连接，但存在指向本身的连接，如图所示：

咱们能够发现，当上网者跑到C网页后，就像跳进了陷阱，不再能从C中出来了，这将致使几率分布值所有转移到C网页上来，其对应的转移矩阵为：

用初始的访问几率右乘转移矩阵，而后一直迭代下去，则全部的几率都会转移到网页C：

5、 解决终止点问题和陷阱问题

上述的问题只是特殊的状况，为了更好的理解PageRank算法的原理而已。实际上Google提出的PageRank算法分为两部分，另外一部分是由必定的几率跳转到一个随机的网页，这样就能避免终止点问题和陷阱问题。

其中$\alpha$通常取为0.85，如今咱们来计算带陷阱问题的网络的几率分布：

重复迭代下去，获得：

6、复杂度问题

上述的网络只有四个结点，直接用矩阵乘法进行是十分快捷的。可是真实的网络中有上千万个网页结点，若是仍是直接用矩阵乘法进行计算，时间复杂度就过高了。所以不少有关PageRank算法的博客都提到了Map-Reduce的计算，这里后续进行补充...

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个性化PageRank算法

个性化PageRank算法的目标是要计算全部节点相对于用户u的相关度。从用户u对应的节点开始游走，每到一个节点都以1-d的几率中止游走并从u从新开始，或者以d的几率继续游走，从当前节点指向的节点中按照均匀分布随机选择一个节点往下游走。这样通过不少轮游走以后，每一个顶点被访问到的几率也会收敛趋于稳定，这个时候咱们就能够用几率来进行排名了。

个性化PageRank的计算能够用bookmark-coloring算法，参考文献[2]

具体的算法原理后期补充...

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参考内容：

1. http://blog.jobbole.com/71431/
2. Bookmark-coloring algorithm for personalized PageRank.