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题目描述：算法
给定一个字符串 s1，咱们能够把它递归地分割成两个非空子字符串，从而将其表示为二叉树。数组
下图是字符串 s1 = "great" 的一种可能的表示形式。ide
great
/ \
gr eat
/ \ / \
g r e at
/ \
a t
在扰乱这个字符串的过程当中，咱们能够挑选任何一个非叶节点，而后交换它的两个子节点。post
例如，若是咱们挑选非叶节点 "gr" ，交换它的两个子节点，将会产生扰乱字符串 "rgeat" 。spa
rgeat
/ \
rg eat
/ \ / \
r g e at
/ \
a t
咱们将 "rgeat” 称做 "great" 的一个扰乱字符串。.net
一样地，若是咱们继续将其节点 "eat" 和 "at" 进行交换，将会产生另外一个新的扰乱字符串 "rgtae" 。code
rgtae
/ \
rg tae
/ \ / \
r g ta e
/ \
t a
咱们将 "rgtae” 称做 "great" 的一个扰乱字符串。htm
给出两个长度相等的字符串 s1 和 s2，判断 s2 是不是 s1 的扰乱字符串。blog
示例 1:
输入: s1 = "great", s2 = "rgeat" 输出: true
示例 2:
输入: s1 = "abcde", s2 = "caebd" 输出: false
解题思路：
这道题定义了一种爬行字符串（扰乱字符串），就是说假如把一个字符串当作一个二叉树的根，而后它的非空子字符串是它的子节点，而后交换某个子字符串的两个子节点，从新爬行回去造成一个新的字符串，这个新字符串和原来的字符串互为爬行字符串。
这道题能够用递归Recursion或是动态规划Dynamic Programming来作，咱们先来看递归的解法，参见http://blog.unieagle.net/2012/10/23/leetcode%E9%A2%98%E7%9B%AE%EF%BC%9Ascramble-string%EF%BC%8C%E4%B8%89%E7%BB%B4%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92/，简单的说，就是s1和s2是scramble的话，那么必然存在一个在s1上的长度l1，将s1分红s11和s12两段，一样有s21和s22.那么要么s11和s21是scramble的而且s12和s22是scramble的；要么s11和s22是scramble的而且s12和s21是scramble的。就拿题目中的例子 rgeat 和 great 来讲，rgeat 可分红 rg 和 eat 两段， great 可分红 gr 和 eat 两段，rg 和 gr 是scrambled的， eat 和 eat 固然是scrambled。根据这点，咱们能够写出代码以下。
C++解法一：
1 // Recursion 2 class Solution { 3 public: 4 bool isScramble(string s1, string s2) { 5 if (s1.size() != s2.size()) return false; 6 if (s1 == s2) return true; 7 string str1 = s1, str2 = s2; 8 sort(str1.begin(), str1.end()); 9 sort(str2.begin(), str2.end()); 10 if (str1 != str2) return false; 11 for (int i = 1; i < s1.size(); ++i) { 12 string s11 = s1.substr(0, i); 13 string s12 = s1.substr(i); 14 string s21 = s2.substr(0, i); 15 string s22 = s2.substr(i); 16 if (isScramble(s11, s21) && isScramble(s12, s22)) return true; 17 s21 = s2.substr(s1.size() - i); 18 s22 = s2.substr(0, s1.size() - i); 19 if (isScramble(s11, s21) && isScramble(s12, s22)) return true; 20 } 21 return false; 22 } 23 };
这道题也能够用动态规划Dynamic Programming，根据以往的经验来讲，根字符串有关的题十有八九能够用DP来作，那么难点就在于如何找出递推公式。参见https://blog.csdn.net/linhuanmars/article/details/24506703，这实际上是一道三维动态规划的题目，咱们提出维护量res[i][j][n]，其中i是s1的起始字符，j是s2的起始字符，而n是当前的字符串长度，res[i][j][len]表示的是以i和j分别为s1和s2起点的长度为len的字符串是否是互为scramble。
有了维护量咱们接下来看看递推式，也就是怎么根据历史信息来获得res[i][j][len]。判断这个是否是知足，其实咱们首先是把当前s1[i...i+len-1]字符串劈一刀分红两部分，而后分两种状况：第一种是左边和s2[j...j+len-1]左边部分是否是scramble，以及右边和s2[j...j+len-1]右边部分是否是scramble；第二种状况是左边和s2[j...j+len-1]右边部分是否是scramble，以及右边和s2[j...j+len-1]左边部分是否是scramble。若是以上两种状况有一种成立，说明s1[i...i+len-1]和s2[j...j+len-1]是scramble的。而对于判断这些左右部分是否是scramble咱们是有历史信息的，由于长度小于n的全部状况咱们都在前面求解过了（也就是长度是最外层循环）。
上面说的是劈一刀的状况，对于s1[i...i+len-1]咱们有len-1种劈法，在这些劈法中只要有一种成立，那么两个串就是scramble的。
总结起来递推式是res[i][j][len] = || (res[i][j][k]&&res[i+k][j+k][len-k] || res[i][j+len-k][k]&&res[i+k][j][len-k]) 对于全部1<=k<len，也就是对于全部len-1种劈法的结果求或运算。由于信息都是计算过的，对于每种劈法只须要常量操做便可完成，所以求解递推式是须要O(len)（由于len-1种劈法）。
如此总时间复杂度由于是三维动态规划，须要三层循环，加上每一步须要线性时间求解递推式，因此是O(n^4)。虽然已经比较高了，可是至少不是指数量级的，动态规划仍是有很大优点的，空间复杂度是O(n^3)。
C++解法二：
1 // DP 2 class Solution { 3 public: 4 bool isScramble(string s1, string s2) { 5 if (s1.size() != s2.size()) return false; 6 if (s1 == s2) return true; 7 int n = s1.size(); 8 vector<vector<vector<bool> > > dp (n, vector<vector<bool> >(n, vector<bool>(n + 1, false))); 9 for (int i = 0; i < n; ++i) { 10 for (int j = 0; j < n; ++j) { 11 dp[i][j][1] = s1[i] == s2[j]; 12 } 13 } 14 for (int len = 2; len <= n; ++len) { 15 for (int i = 0; i <= n - len; ++i) { 16 for (int j = 0; j <= n - len; ++j) { 17 for (int k = 1; k < len; ++k) { 18 if ((dp[i][j][k] && dp[i + k][j + k][len - k]) || (dp[i + k][j][len - k] && dp[i][j + len - k][k])) { 19 dp[i][j][len] = true; 20 } 21 } 22 } 23 } 24 } 25 return dp[0][0][n]; 26 } 27 };
上面的代码的实现过程以下，首先按单个字符比较，判断它们之间是不是scrambled的。在更新第二个表中第一个值(gr和rg是否为scrambled的)时，比较了第一个表中的两种构成，一种是 g与r, r与g，另外一种是 g与g, r与r，其中后者是真，只要其中一个为真，则将该值赋真。其实这个原理和以前递归的原理很像，在判断某两个字符串是否为scrambled时，比较它们全部可能的拆分方法的子字符串是不是scrambled的，只要有一个种拆分方法为真，则比较的两个字符串必定是scrambled的。比较 rge 和 gre 的实现过程以下所示：
r g e
g x √ x
r √ x x
e x x √
rg ge
gr √ x
re x x
rge
gre √
DP的另外一种写法，参考http://blog.sina.com.cn/s/blog_b9285de20101gy6n.html，思路都同样。
C++解法三：
1 // Still DP 2 class Solution { 3 public: 4 bool isScramble(string s1, string s2) { 5 if (s1.size() != s2.size()) return false; 6 if (s1 == s2) return true; 7 int n = s1.size(); 8 vector<vector<vector<bool> > > dp (n, vector<vector<bool> >(n, vector<bool>(n + 1, false))); 9 for (int i = n - 1; i >= 0; --i) { 10 for (int j = n - 1; j >= 0; --j) { 11 for (int k = 1; k <= n - max(i, j); ++k) { 12 if (s1.substr(i, k) == s2.substr(j, k)) { 13 dp[i][j][k] = true; 14 } else { 15 for (int t = 1; t < k; ++t) { 16 if ((dp[i][j][t] && dp[i + t][j + t][k - t]) || (dp[i][j + k - t][t] && dp[i + t][j][k - t])) { 17 dp[i][j][k] = true; 18 break; 19 } 20 } 21 } 22 } 23 } 24 } 25 return dp[0][0][n]; 26 } 27 };
下面这种解法和第一个解法思路相同，只不过没有用排序算法，而是采用了相似于求异构词的方法，用一个数组来保存每一个字母出现的次数，后面判断Scramble字符串的方法和以前的没有区别。
C++解法四：
1 class Solution { 2 public: 3 bool isScramble(string s1, string s2) { 4 if (s1 == s2) return true; 5 if (s1.size() != s2.size()) return false; 6 int n = s1.size(), m[26] = {0}; 7 for (int i = 0; i < n; ++i) { 8 ++m[s1[i] - 'a']; 9 --m[s2[i] - 'a']; 10 } 11 for (int i = 0; i < 26; ++i) { 12 if (m[i] != 0) return false; 13 } 14 for (int i = 1; i < n; ++i) { 15 if ((isScramble(s1.substr(0, i), s2.substr(0, i)) && isScramble(s1.substr(i), s2.substr(i))) || (isScramble(s1.substr(0, i), s2.substr(n - i)) && isScramble(s1.substr(i), s2.substr(0, n - i)))) { 16 return true; 17 } 18 } 19 return false; 20 } 21 };
下面这种解法其实是解法二的递归形式，咱们用了memo数组来减小了大量的运算，注意这里的memo数组必定要有三种状态，初始化为-1，区域内为scramble是1，不是scramble是0，这样就避免了已经算过了某个区间，但因为不是scramble，从而又进行一次计算，从而会TLE，思路参见http://www.cnblogs.com/bambu/
C++解法五：
1 class Solution { 2 public: 3 bool isScramble(string s1, string s2) { 4 if (s1 == s2) return true; 5 if (s1.size() != s2.size()) return false; 6 int n = s1.size(); 7 vector<vector<vector<int>>> memo(n, vector<vector<int>>(n, vector<int>(n + 1, -1))); 8 return helper(s1, s2, 0, 0, n, memo); 9 } 10 bool helper(string& s1, string& s2, int idx1, int idx2, int len, vector<vector<vector<int>>>& memo) { 11 if (len == 0) return true; 12 if (len == 1) memo[idx1][idx2][len] = s1[idx1] == s2[idx2]; 13 if (memo[idx1][idx2][len] != -1) return memo[idx1][idx2][len]; 14 for (int k = 1; k < len; ++k) { 15 if ((helper(s1, s2, idx1, idx2, k, memo) && helper(s1, s2, idx1 + k, idx2 + k, len - k, memo)) || (helper(s1, s2, idx1, idx2 + len - k, k, memo) && helper(s1, s2, idx1 + k, idx2, len - k, memo))) { 16 return memo[idx1][idx2][len] = 1; 17 } 18 } 19 return memo[idx1][idx2][len] = 0; 20 } 21 };