图论算法的数学模型

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图论算法的数学模型

今天听敦敦敦的课总结一下...

前置芝士：网络流，最小割

引入：最短路的数学形式

松弛操做：

对于一条边$(u,v,w)$，$\text {if}~(dis_u+w(u,v)<dis_v)~\text{then}~dis_v=dis_u+w(u,v)$

因此对于求出来的dis，有$dis_v\leq dis_u+w(u,v)$对吧。。。 那么这和差分约束中$x_i-x_j\leq a_k$是对应的，就能够从$~j~$连到$~i~$一条权值为$~a_k~$的边 这也给了咱们一个启发：若是能把要求的贡献/条件转化为图论算法要求的形式，数学问题也能够解决

最小割的数学形式

考虑对于$~01~$变量$~x~$，令$x=0$则与源点联通，$x=1$则与汇点联通

考虑边$(S,x,a)$，即从源点向$x$连了流量为$a$的边对最小割的贡献 那么仅当$~x~$连与汇点联通时才能算把这条边割掉的贡献，此时$x=1$

那么就能够简单地把答案表示为$a*x$

一样地，对于边$(x,T,a)$，答案即为$a*(1-x)$

最后考虑边$(x,y,a)$，注意是有向边 那么这条边要被割掉仅当$x$与源点联通，$y$与汇点联通，贡献即为$a(1-x)y$

求最小割的本质就是给x赋值对吧 那么咱们把要求的贡献表示成这三种形式，不就能够经过最小割算出最小的贡献了？ （最大割是np问题~）

来看一道例题吧：

ZROJ1209

放心大家找不到

说下题意：

有一个 $n×m$ 的方格，一开始全部格子都是白色的，你的最终目的是把方格涂成你想要的颜色

你有三种刷的方法：

• 横着刷连续的 $k$ 格，代价是 $ak+b$
• 竖着刷连续的 $k$ 格，代价是 $ak+b$
• 只刷某个格子，代价是 $c$

每一个格子的颜色是最后刷它的那个刷子的颜色，可是有如下几个限制：

• 每一个格子最多只能被刷两次，不管这些刷子是否同色
• 每一个格子不能先刷白色刷子再刷黑色刷子，由于白色染料比较特殊，这会致使格子变成灰色，可是你能够先刷黑色刷子再刷白色刷子，也能够在一开始格子是初始颜色白色时刷黑色刷子

如今你须要求出，刷出指定颜色的最小代价

有个结论:不会被横刷子涂两次，这样不是白给吗

由于最开始都是白的，咱们考虑先刷黑的，再刷白的，最后刷单点，这样必定最优

设$bh[x][y]$表示 (x,y)是否被横着的黑刷子刷了，$wv[x][y]$ 表示是否被竖着的白刷子刷了 而后设$\text{_bv[x][y]}$表示1-(x,y)是否被竖着的黑刷子刷了，$\text{_wh[x][y]}$表示是否被横着的白刷子刷了 这样设是为了表示答案方便，好用最小割求解

考虑横竖刷子的代价$ak+b$ ，能够把a摊到每一个格子上，b算到最后一个格子 那么横着的黑刷子对每一个点的贡献就是$bh[x][y]a+bbh[x][y]*(1-bh[x][y+1])$ 其余的同理，显然符合最小割的贡献形式

考虑单点的代价，被单点修改仅当没有被刷子刷过 黑格子贡献：$c*(1-bh[x][y])(\text{_bv[x][y]})$ 又由于不能被白的刷过，贡献$infwv[x][y]+inf*(1-\text{_wh[x][y]})$

那么白格子单点贡献：以前涂了黑但没被涂白 $cbh[x][y](1-wv[x][y])+x*(1-\text{_bv[x][y]})\text{_wh[x][y]}$ 并且不能被黑刷子刷两次：$infbh[x][y]*\text{(1-_bv[x][y])}$

而后对应连点，求最小割，就作完了

一些没用的总结

因此对于一些难抽象出图论模型的最小割题，能够转化成数学模型作，具体就是设设变量而后看看形式对不对应，变量能够设两种形式

好比有一道著名的文理分科题，你想一想不就是设每一个点选文仍是选理，二分图染色设变量为x或1-x，贡献分别就是$ax,a(1-x)$，组合的贡献就是$c(x)(1-y),c(1-x)y$这样讨论吗？