线性代数-总结（一）

线性代数的核心内容就是线性变换，前面主要从静态和动态两个方面进行描述，奇异值分解应该比矩阵对角化更为通常，矩阵对角化只是它的特殊状况而已，而对称矩阵更是特殊的存在。到目前为止我的认为只是经过“线性代数及其应用一书”把线性变换的主要内容给讲明了，还有不少方面未说起。总结内容以下：

一、向量自己是一个有大小和方向的量，所以向量能够自由的平移。为了研究的方便一般把向量放到一个坐标系中进行研究，坐标就是一个点的位置，0坐标就是全部向量的起始点，因为向量是两点连线的方向和位移，所以从0坐标出发到该向量值表示坐标的连线表明该向量。

二、有了坐标系后，咱们知道在不一样的坐标系中同一贯量的坐标值也不一样。并且咱们对向量的研究必定要放在某个特定的坐标系中，若是不做特殊说明通常默认坐标系为单位矩阵。

三、坐标系也叫作基，基必须由线性无关的向量构成，基向量的线性组合张成了空间。相同的空间能够有无数的基，为了研究方便常常用标准正交基（单位矩阵就是特殊的标准正交基，标准正交基一样是无数个）。空间中包含无数个通过0坐标的子空间（必需要过0坐标）。线性无关向量的个数为空间的维数（维数相同不表明空间相同，好比三维中的平面和二维平面不是同一个空间）。

四、矩阵是由多个向量构成的，若是向量线性无关那么矩阵能够看做空间的基，若是线性相关那么矩阵中某个向量能够被其他向量表示则该空间必定是子空间。向量X能够表示成矩阵A*坐标X`，向量X也能够表示成矩阵A中各个向量的线性组合，组合的权重能够表示成向量X`。

令X=A.X1=B.X2，X1和X2分别表示向量X在基A和B下的坐标。X1=A-1.B.X2或者X2=B-1.A.X1，令P=A-1.B则P-1=B-1.A，P又叫作基变换矩阵。

五、矩阵A还能够表示线性变换，此时向量X表明着某个固定对象并在某个基下有初始坐标X1，而后经过A的做用后移动到坐标X2的位置上，此时A至关于一个做用力并与基无关也就是脱离坐标系的（例如线性变换A将向量拉伸2倍，在任何基下面它都将坐标位置移动到初始位置2倍的坐标处）。

六、矩阵A表示线性变换时是与基无关的，但一旦谈及类似矩阵的时就与基相关了。它说的是同一线性变换在不一样基下的表示方式（假设在你面前有一辆汽车从左向右飞驰而过，但对于你对面的人汽车是从他由右向左的方向行驶的，汽车的运动是固定的只是不一样人观察的视角不一样），很明显同一线性变换的类似矩阵有无数个。

七、矩阵A能够对向量拉伸或者旋转甚至是拉伸与旋转并存，并且还存在着拉伸最大、次大的幅度。为了更为通常的讨论，矩阵A能够是方阵也能够是长方形矩阵，要找出这样的幅度就须要在全部的坐标向量中寻找，为了计算的方便：一、将所寻找的向量放在单位矩阵构成的基中讨论；二、将坐标向量设置为单位向量（假设某个单位向量具备最大的拉伸幅度，那么该单位向量上全部的向量都有相同的拉伸幅度）。该问题能够描述为求解|AX|的最大、次大值，进一步转换为在|X|=1下求解的最大、次大值。因为，而为对称矩阵，根据

就能够求出相应的解。

八、根据第7点按照奇异值分解固定步骤就能够对全部矩阵进行分解，写到这里又出现蛋和鸡的前后问题了：尽管奇异值分解能够分解全部矩阵应该比方阵对角化更具通常性，可是奇异值分解依赖于对称矩阵的对角化更依赖于方阵的对角化，因此通常书籍都是按照方阵对角化、对称矩阵和二次型最后才是奇异值分解的方式来讲的，要是能将奇异值分解放在前面讲就行了，由于我的倾向于从通常到特殊的思惟方式。