Andrew Ng机器学习公开课笔记 -- Generative Learning algorithms

网易公开课，第5课
notes，http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes2.pdf

学习算法有两种，一种是前面一直看到的，直接对p(y|x; θ)进行建模，好比前面说的线性回归或逻辑回归，这种称为判别学习算法（discriminative learning algorithms）

另一种思路，就是这里要谈的，称为生成学习算法（generative learning algorithms），区别在于不会直接对p(y|x; θ)进行建模，而是对p(x|y) (and p(y))进行建模，而后用bayes定理算出p(y|x)
 
不像判别方法，给定x就能经过训练的模型算出结果
好比逻辑回归中，经过

而生成学习算法的思路是这样的，因为须要对p(x|y)进行建模，x是连续的，但对于分类问题y是离散的，好比取值0或1
咱们作的是，分别对每种y的状况进行建模，好比判断垃圾邮件，那么分别对垃圾和正常邮件进行建模，获得
p(x|y = 0) models 和 p(x|y = 1) models
而p(y) (called the class priors)每每是比较容易算出的
当来一个新的x时，须要计算每一个y的p(y|x)，而且取几率最大的那个y
这里因为只须要比较大小，p(x)对于你们都是同样的，不须要算

因此对于任意生成学习算法，关键就是要学习出
p(x|y = 0) models 和 p(x|y = 1) models

 

Gaussian discriminant analysis

首先学习的一个生成算法就是GDA，高斯判别分析
不解为什么生成算法要叫判别。。。

多项高斯分布
对于这个算法，首先要假设p(x|y)符合多项高斯分布（multivariate normal distribution），区别于通常的高斯分布，参数μ是一维的，而多项高斯分布参数是n维的

其中，
，mean vector，是个n维的向量
，covariance matrix，是个n×n的矩阵
关于这个分布，课件里面讲的很详细，还有不少图，参考课件吧
其实只要知道这个分布也是一个bell-shape curve，μ会影响bell的位置（平移）
而covariance matrix会影响bell的高矮，扁圆的形状

The Gaussian Discriminant Analysis model
继续讲这个模型
前面说了对于生成学习算法，关键就是要找出p(x|y = 0)，p(x|y = 1)和p(y)
 
好理解吗，y取值0或1，必定是伯努利分布，而p(x|y)根据前面假设必定是符合多项高斯分布，因此有

如今问题是要根据训练集，学习出

怎么学？最大似然估计

这里和判别学习算法不一样，
判别学习算法，对p(y|x; θ)进行建模，因此称为conditional似然估计
而生成学习算法，是对于p(x|y)*p(y)，即p(x,y)进行建模，因此称为joint似然估计

使用最优化算法计算maximizing ℓ，获得参数以下（计算过程略去）

虽然没有写计算过程，可是获得的这个结果是reasonable的
φ就是y=1的几率，算出的结果就是在训练集中y=1的比例
μ0，μ1，结果是训练集中y=0（或y=1）时x的均值，都很合理

计算出这些参数，咱们就获得p(x|y = 0)，p(x|y = 1)和p(y)，而后可使用上面的方法就行预测

Discussion: GDA and logistic regression
这里有个颇有趣的结论

We just argued that if p(x|y) is multivariate gaussian (with shared ), then p(y|x) necessarily follows a logistic function. The converse, however, is not true;

当p(x|y)知足multivariate gaussian的时候，p(y|x)必定是logistic function，但反之不成立。
使用视频中的截图，更容易理解

图中，叉表示y=0的点，圈表示y=1的点
因此对于y=0和y=1分别建模，就获得两边的两个bell-shaped的高斯曲线
这时若是要画出p(y=1|x)，就获得中间的sigmod曲线
越靠左y=1的几率越小，越靠右y=1的几率越接近1，在中间两个曲线交界的地方，y=1的几率为0.5
很是形象的说明为何p(y|x)会是一个logistic function

更酷的是，这个结论能够推广到任何指数族分布，即任何广义线性模型的分布

那么这里产生的问题就是，咱们为何须要GDA，直接使用逻辑回归不能够吗？
二者区别在于，
GDA比逻辑回归作出更强的假设，由于前面的结论是不可逆的
因此当数据p(x|y)确实或近似符合高斯分布时，GDA更有效，而且须要更少的训练数据就能够达到很好的效果
可是在实际中，其实你很难肯定这点，
这时逻辑回归有更好的鲁棒性，好比若是p(x|y)符合泊松分布，而你误认为符合高斯分布，而使用GDA，那么效果就会不太好
而逻辑回归，对数据作出的假设比较少，只要p(x|y)指数族分布，都会有比较好的效果，固然逻辑回归须要的训练数据也是比较多的

这里其实就是一个balance 模型假设强弱和训练数据量之间的权衡 若是你明确知道符合高斯分布，那么用比较少的训练数据，使用GDA就很好 若是不肯定，就使用逻辑回归，用比较多的训练数据