图像的傅里叶变换的频谱特征一（周期性，能量分布，fftshift，交错性）

时间 2021-01-13 标签二维傅里叶变换图像的傅里叶变换傅里叶变换的性质 DFT FFT

图像傅里叶变换的频谱特征

傅里叶变换在一维信号处理中的地位是显著的，是不可撼动的，然后傅里叶变换在图像处理领域中的应用似乎稍逊一筹，黯然失色。究其原因，我想了很久，请允许我用非官方的，不正规的，但却通俗易懂的方式说一下。

一句话概括就是：要化繁为简（DSP），不要弄巧成拙（DIP）。

前半句说的是DFT在信号处理中的应用:

比如说一个音频信号（这里讨论的是数字化后的声音），他在你看来就是一团杂乱无章的信号，你很难直观的感受到他想要表达的意义，而用DFT分析后，很快就能知道其各个频率成分的比重，而且在频域处理起来也非常方便。

上图中的一个杂乱无章的一维信号经过傅里叶分析后，信号特征一目了然。DFT在一维信号中往往起到了化繁为简的作用。

后半句说的是DFT在图像处理中的应用:

常言道，百闻不如一见，人脑对于图像的理解能力是非常发达的。换句话说，一副图像（不论是灰度的图像还是彩色图像）所提供的信息是显而易见，清晰有力的。然而，一副图像的傅里叶频谱图，却常常让人难以理解，捉摸不透，也正因为如此，相对于一维频谱的频域处理方式而言，二维频域的处理方式显得非常有限，例如，二维卷积的频域计算，傅里叶中心切片定理Fourier Slice Theorem（医学领域）。

我这里再次选用了著名的Cameraman的图像，这幅照片向我们表达的信息是显而易见的，一位优秀的摄影师，黑色的风衣，潇洒的发型，很有质感的皮手套，灰色的裤子，一台照相机，一个三脚架，草坪，蓝天，背景是MIT。而他的频谱图则并没有像一维的频谱图那样，有助于我们理解图像自身以外的或者是隐藏在图像背后的信息。比如说，中间的那条白线是什么，如果你没看我之前写的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什么。这也就是我为什么说，图像的傅里叶变换有些多此一举，反而把一个简单的问题弄得很复杂，弄巧成拙了。

言归正传，说了这么多，搞图像的哪有不和二维傅里叶变换打交道的呢。现在我就尽力说明一下图像二维傅里叶变换的一些属性（这里主讲二维频谱的特性，一维里面的共有特性就不细讲了）。

1，周期性

DFT的周期性：时时刻刻都要记住，对于DFT而言，他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。

如果只取其中的一个周期，则我们会得到如下的结果（即，频谱未中心化）。

为了便于频域的滤波和频谱的分析，常常在变换之前进行频谱的中心化。

附：频谱的中心化

从数学上说是在变换之前用指数项乘以原始函数，又因为e^jπ = 1，所以往往我们在写程序的时候实际上是把原始矩阵乘以（-1）^(x+y)达到频谱居中的目的。如下图所示：1<----->3 对调，2<----->4 对调，matlab中的fftshit命令就是这么干的。

变换后对调频谱的四个象限（swap quadrant）

经过中心化后的频谱

截取了其中的一个周期，作为图像的频谱

2，高低频率的分布

除了周期性之外，还应该知道的就是哪里是高频哪里是低频。在经过频谱居中后的频谱中，中间最亮的点是最低频率，属于直流分量（DC分量）。越往边外走，频率越高。所以，频谱图中的四个角和X,Y轴的尽头都是高频。

没有经过频谱居中处理的频谱图则正好相反，中间区域是高频，而四个角则是DC低频分量。

这里我再用一个正弦波的例子来展示频谱图的高低频的分布，见下图。

频谱中心化以后，正弦波的频点靠中心越近，频率越低，离中心越远，频率越高。

3，频谱图的能量分布

这里我顺便提一下频谱中的能级分布，则如下图所示。明显，DC分量所占能量最大最多，不论是二维还是一维都应该是这样。频率越高的部分，能量越少。如下图所示，图示画的不好，勉强能够理解就好。中间最小的那个圆圈内包含了大约85%的能量，中间那个圈包含了大约93%的能量，而最外面那个圈则包含了几乎99%的能量。

4，纵横“交错”性

在二维傅里叶变换中，空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上，而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向，反之亦然。说明见下图。

（注：上图中标注错误，应该是纵向的变化体现在频频的横轴上。

下图中一样要改，应该是图像中横向的变化体现在频频的纵轴上！）

最后再附加一个例子。

我在用MATLAB仿真的过程中，为了让频谱更集中，更加有助于理解，我反复的用到了加窗，关于图像的加窗，请看我的另一篇文章：https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/80079215