【坐在马桶上看算法】算法7：Dijkstra最短路算法

时间 2019-12-05

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上周咱们介绍了神奇的只有五行的Floyd最短路算法，它能够方便的求得任意两点的最短路径，这称为“多源最短路”。本周来来介绍指定一个点（源点）到其他各个顶点的最短路径，也叫作“单源最短路径”。例如求下图中的1号顶点到二、三、四、五、6号顶点的最短路径。

与Floyd-Warshall算法同样这里仍然使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值以下。

咱们还须要用一个一维数组dis来存储1号顶点到其他各个顶点的初始路程，以下。

咱们将此时dis数组中的值称为最短路的“估计值”。

既然是求1号顶点到其他各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。经过数组dis可知当前离1号顶点最近是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“肯定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值。为何呢？你想啊，目前离1号顶点最近的是2号顶点，而且这个图全部的边都是正数，那么确定不可能经过第三个顶点中转，使得1号顶点到2号顶点的路程进一步缩短了。由于1号顶点到其它顶点的路程确定没有1号到2号顶点短，对吧O(∩_∩)O~

既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边呢。有2->3和2->4这两条边。先讨论经过2->3这条边可否让1号顶点到3号顶点的路程变短。也就是说如今来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边。因此dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，再经过2->3这条边，到达3号顶点的路程。

咱们发现dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，所以dis[3]要更新为10。这个过程有个专业术语叫作“松弛”。即1号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，经过2->3这条边松弛成功。这即是Dijkstra算法的主要思想：经过“边”来松弛1号顶点到其他各个顶点的路程。

同理经过2->4（e[2][4]），能够将dis[4]的值从∞松弛为4（dis[4]初始为∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，所以dis[4]要更新为4）。

刚才咱们对2号顶点全部的出边进行了松弛。松弛完毕以后dis数组为：

接下来，继续在剩下的三、四、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点。经过上面更新过dis数组，当前离1号顶点最近是4号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“肯定值”。下面继续对4号顶点的全部出边（4->3，4->5和4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕以后dis数组为：

继续在剩下的三、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，此次选择3号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“肯定值”。对3号顶点的全部出边（3->5）进行松弛。松弛完毕以后dis数组为：

继续在剩下的5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，此次选择5号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“肯定值”。对5号顶点的全部出边（5->4）进行松弛。松弛完毕以后dis数组为：

最后对6号顶点全部点出边进行松弛。由于这个例子中6号顶点没有出边，所以不用处理。到此，dis数组中全部的值都已经从“估计值”变为了“肯定值”。

最终dis数组以下，这即是1号顶点到其他各个顶点的最短路径。

OK，如今来总结一下刚才的算法。算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是1号顶点）最近的一个顶点，而后以该顶点为中心进行扩展，最终获得源点到其他全部点的最短路径。基本步骤以下：

将全部的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。咱们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，若是book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中，若是book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。
设置源点s到本身的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[ i ]设为e[s][ i ]。同时把全部其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为∞。
在集合Q的全部顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察全部以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操做。例如存在一条从u到v的边，那么能够经过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。若是这个值比目前已知的dis[v]的值要小，咱们能够用新值来替代当前dis[v]中的值。
重复第3步，若是集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到全部顶点的最短路径。

完整的Dijkstra算法代码以下：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;
    int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个咱们认为的正无穷值
    //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
    scanf("%d %d",&n,&m);
    
    //初始化
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(i==j) e[i][j]=0;  
              else e[i][j]=inf;
              
    //读入边
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
        e[t1][t2]=t3;
    }

    //初始化dis数组，这里是1号顶点到其他各个顶点的初始路程
    for(i=1;i<=n;i++)
        dis[i]=e[1][i];

    //book数组初始化
    for(i=1;i<=n;i++)
        book[i]=0;
    book[1]=1;
    
    //Dijkstra算法核心语句
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        //找到离1号顶点最近的顶点
        min=inf;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(book[j]==0 && dis[j]<min)
            {
                min=dis[j];
                u=j;
            }
        }
        book[u]=1;
        for(v=1;v<=n;v++)
        {
            if(e[u][v]<inf)
            {
                if(dis[v]>dis[u]+e[u][v]) 
                    dis[v]=dis[u]+e[u][v];
            }
        }    
    }
    
    //输出最终的结果
    for(i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",dis[i]);
        
    getchar();
    getchar();
    return 0;
}

能够输入如下数据进行验证。第一行两个整数n m。n表示顶点个数（顶点编号为1~n），m表示边的条数。接下来m行表示，每行有3个数x y z。表示顶点x到顶点y边的权值为z。

运行结果是

0 1 8 4 13 17

经过上面的代码咱们能够看出，这个算法的时间复杂度是O(N*2*N)即O(N²)。其中每次找到离1号顶点最近的顶点的时间复杂度是O(N)，这里咱们能够用“堆”（之后再说）来优化，使得这一部分的时间复杂度下降到O(logN)。另外对于边数M少于N²的稀疏图来讲（咱们把M远小于N²的图称为稀疏图，而M相对较大的图称为稠密图），咱们能够用邻接表（这是个神马东西？不要着急，下周再仔细讲解）来代替邻接矩阵，使得整个时间复杂度优化到O(MlogN)。请注意！在最坏的状况下M就是N²，这样的话MlogN要比N²还要大。可是大多数状况下并不会有那么多边，所以MlogN要比N²小不少。html

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(出处: 啊哈磊_编程从这里起步)算法