【数理统计】几率统计

1、古典概型与几何概型

1.1古典概型与几何概型特征

1）共同点：等可能性（每一个事件发生的几率相同）

2）区别：

• 古典概型的样本空间是一个有限集。
  
• 几何概型能够是无限集，但它能够用几何区域来表示
  

1.2公式

1）古典概型：

已知基本事件个数n与事件A所包含的结果数m，而后代入公式：

即为事件A的几率。

2）几何概型：使用有度量（长度、面积、体积等）的几何区域表示：

1.3求解步骤

1.3.1古典概型

1）判断事件是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件；

2）利用列举法等方法计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；

3）计算事件中A的几率

1.3.2几何概型

1）把样本空间和所求几率的事件用关系式表示出来，其中又分两类：

          a、样本空间具备明显的几何意义，样本点所在的几何区域题目中已给出

          b、样本空间所求事件所对应的几何区域没有直接给出，找出它们成为解这类几何几率题的关键。方法是先引进变量，而后用代数公式表示变量间的关系，再绘图根据几何形状求解。

2）在坐标系中把几何图形画出来

3）根据图像按照古典概型公式求解

例：

2、条件几率与贝叶斯

2.1定义

2.1.1条件几率

2.1.2乘法公式

由此可获得：

例：

注：当A属于B的时候，P（A）=P（AB）

2.1.3全几率公式：

1）原理：乘法公式的扩展

设是两个事件,那么能够表示为

 

显然,,若是则

由此可得：

2）定义：

设试验E的样本空间,为的事件, 为的一个分割,且 ,则

上式被称为全几率公式。

例：

答

2.1.4贝叶斯公式

设试验的样本空间,为的事件, 为的一个分割,且 ,则

上式称为贝叶斯公式。

证实：

2.1.5独立事件

1）两个事件的独立

注：此时P（A|B）= P（A）=P（AB）/ P（B）

2）多个事件的独立

3）n重伯努利试验（n重独立重复试验）

二项式定理：

对于伯努利概型，事件A在n次试验中发生k次的几率为

2.2条件几率中的P（B|A）特征（全几率公式和贝叶斯公式）

共同点：都是由条件几率和乘法公式推广获得的

区别：

• 全几率公式求解的是P（B），其中A被分解为A=A1+A2+...An的集合，由此分解P（B）=P（A1B）+P（A2B）+...P（AnB）来求解。
  
• 贝叶斯公式求解的是P（Bi|A），其被称为后验几率，P（A）被称为先验几率。能够这样理解为：致使P（A）发生的因素有不少种，B=B1+B2+...+Bn，其中由Bi致使A发生的几率就是后验几率。它能够用来分析各类前提因素的重要性。
  

3、大数定律与中心极限定理

3.1大数定理

多个随机变量的算数平均μ渐近

3.2中心极限定理

当n充分大时，独立同分布的随机变量X1，X2，...，Xn，且E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2>0，则这些随机变量的和服从正态分布：

这些随机变量和的均值服从正态分布：

而

4、参数估计与假设检验

、

4.1参数估计

4.1.1点估计

1）矩估计

2）最大似然数估计

4.1.2估计的评价标准

1）无偏性

2）有效性

3）相合性

4.1.2区间估计

置信水平（置信度）：1-α

4.2假设检验

显著水平： α，取0.05，0.01和0.1

4.3参数估计和假设检验的异同

4.3.1共同点

原理都是由下式正态分布规律获得的：

4.3.2区别

• 参数估计认为均值X（ba）落入在横坐标轴区间（-z_α/2，z_α/2）的几率是1-α
  

由此获得估计区间：

• 假设检验认为X（ba）落入在横坐标轴区间（0，-z_α/2）和（z_α/2，0）的事件属于小几率事件，对于给定的小几率α（0<α<1）有：
  

若 （ 拒绝域）成立，则拒绝原假设H0，接收H1，不然没有充分的理由拒绝H0，应该承认H0。

4.3.3求解步骤

• 参数估计：
  

一、选定一个轴枢量：分布已知的z（x1，x2，...，θ）

二、肯定置信区间：P{- z _α/2 < z（x1，x2，...，θ）< z _α/2 }=1- α

三、化简获得： P{ θ1 （x1，x2，...，xn ）< θ < θ1 （x1，x2，...，xn ） }=1- α，则 获得参数的区间估计（ θ1， θ2）

• 假设检验：
  

一、提出原假设H0，以及备选（被择）假设H1。（其中H0和H1是对立的）

二、设原假设成立，并以此构造一个小几率的事件，其几率值为P= α

三、代入样本数据判断小几率事件是否发生，若发生则拒绝H0，承认H1。

附：排列组合公式

公式描述：公式中A(n,m)为排列数公式，C(n,m)为组合数公式。

参考资料：

一、刘安平，肖海军等， 《几率论与数理统计》，科学出版社

二、郑州轻工业学院几率论与数理统计讲义： http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/gailvlunyushulitongjizhidao.htm

来自为知笔记(Wiz)