Prufer序列

网上的prufer写的清晰的不少，看本博客以前看看别的博客，这篇主要写一些没有具体解释的内容。

1.prufer序列中某个编号出现的次数就等于这个编号的节点在无根树中的度数-1。

由于在成生prufer序列时，每删掉连接于该节点的一条边时，这个节点进入序列，知道它自己变成叶子，还剩下一个度，然而被干掉之后留下的不是它自己，因此只出现du-1次。

也正因如此，咱们会给无根树剩下两个节点，而不是所有插入，不然最后一个点将再也不知足这个性质，prufer序列优美的性质就没了。

2.一棵n个节点的无根树惟一地对应了一个长度为n-2的数列，数列中的每一个数都在1到n的范围内。

这个应该仍是比较好理解的，由于生成prufer序列时是很是有序的，不会有别的状况，就像sort同样，而数列中每一个数都在1-n之间，这个很显然，不属于这个范围属于哪一个范围……可是这是另外一个性质的重要基础。

3.n个点有标号无根树的个数为n^n-2。

这个便应用了性质2,由于prufer序列一共n-2个位置，每一个位置填上1-n的数，总方案数可重复排列n^n-2。

4.若n个点的度数分别为d₁,d₂……d_n。则对应的无根树的个数为$\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}$。

由于不一样的prufer对应不一样的无根树（我就是想说1，3，3，3和3，3，3，1生成的无根树是不同的）。那就是个不全相异元素的全排列，直接套那个n！除以一坨阶乘之积的式子就行了。

5.n个点的有标号有根树的个数为n^n-1个。

这个直接用无根树选个根就获得了，n^n-2棵无根树，从这n个节点里任选一个根。完事。