数学分析理论（rudin版）笔记：实数系和复数系.1

导引

有理数集是“稀疏的”和“稠密的”。

选择公理

考虑如下问题：容易找到两个无理数 a, b 使 a + b 为有理数，或者使 ab 为有理数，可是可否使得 ab 也是有理数？

 

 

答：令 

 

 

若是 x 是一个有理数，则便可。

 

 

若是 x 是无理数，则令 ，而 ，则，经过Gelfond-Schneider 定理可知：若是 α ≠ 0, 1 是一个代数数，而 β 是一个代数数而非有理数，则 α^β 是一个超越数。所以， 是一个超越数，也是一个无理数。由此可证。

 

选择公理是从一些集合作出其余集合的几个规则之一。这种规则的两个典型例子是下面的命题：对于任意的集合 A，能够做出其一切子集合的集合，称为 A 的幂集，还有对于任意的集合 A 和任意的性质 p，能够做出 A 中全部具备性质 p 的元素的集合（这两条规则分别叫作幂集公理和归纳公理）。粗略地说，选择公理说的就是容许咱们在做出一个新集合的时候做任意屡次未加特别说明的选择。

 

另外一个回答：令 ，则：

哪种能够解答上文证实？

1. 若是 v 是有理数，第一种状况能行。

2. 若是 v 是无理数，第二种状况能行。

 

拓展1：

 

Banach和Tarski提出分球悖论，意图以此拒绝接受选择公理：

一个三维或者更高维球面或者球体存在一个分割，使得通过一些旋转和平移操做后，咱们能够获得两个不相交的球面或者球体，且其并集正好为两个和原球体等大的球。

这个悖论（或者定理）说明了不是全部的集合都是勒贝格可测集，由于勒贝格可测集的测度是旋转和平移不变的，可是球体的测度是正的（就是球的体积不是0），若是全部子集均可测，那么对球体的（有限）划分，每个子集作平移旋转以后的测度是不变的，因此不管怎样咱们都不能获得两个球体的集合。

Banach-Tarski Paradox 的根本缘由是群 SO(3)的一个特殊性质：存在a, b 是 SO(3) 的元素, 使得 <a, b> 是SO(3) 的子群。

（SO(3) 不只仅是一个不可交换群，它还有特殊的子群，叫作自由群(free group)，而且这个自由群的生成元素(generator) 能够是可数个（数目什么的不重要。

首先，咱们来观察一下由{a, b}生成的自由群F₂的样子，咱们把F分为四类，其中S(a) = {x∈F2, x₁=a}，x₁表明x的第一个位置。同理，咱们能够获得S(b), S(a⁻¹), S(b⁻¹)，这样咱们会获得F的一个无交分解F₂ = {e} ⋃ S(a) ⋃ S(b) ⋃ S(a⁻¹) ⋃ S(b⁻¹)，在这几个子集中咱们发现有这样的性质，aS(a⁻¹) ⋃ S(a) = F₂，bS(b⁻¹) ⋃ S(b) = F₂。这个等式与咱们想要的结果已经在形式上相似了，而且一个三维空间中的全部旋转组成了一个群，这让咱们但愿可以发现这个群中是否包含一个两个元素生成的自由群。

好比令θ = arctan(1/3)，a, b分别表明绕x轴和z轴顺时针旋转θ角，则由a, b生成的群就是这样的一个由两个元素生成的自由群。事实上，咱们只要取θ是π的无理倍，而且两个旋转无关，即不能经过组合的方式回到原样，就是一组咱们能够选取的a, b。咱们把这个群记为G。

咱们首先考虑球面${\mathrm{S2上的点，咱们能够经过G对S2的一个群做用，把S2分红不一样的轨道，做用方式即为旋转，这其实给出了一个等价关系，即两个点在同一个等价类中当且仅当他们中间只差G中的一个旋转。}}^{}$

${\mathrm{下面咱们将要使用选择公理，咱们要在每个轨道中选出一个表明元素，使他们组成一个集合，记为M，则咱们有G\times M = S2，由上，咱们给出了S2的一个无交分解S2 = M \bigcup S(a)M \bigcup S(b)M \bigcup S(a-1)M \bigcup S(b-1)M。}}^{}$${\mathrm{再根据上面讨论的该自由群的性质，咱们能够对S2进行一个分解，因为直接分解会致使M的重复，}}^{}$${\mathrm{因此咱们把S2分解为如下四个部分，A1 = M \bigcup S(a)M \bigcup B，A2 = S(a-1)M\setminus B，A3 = S(b)M，A4 = S(b-1)M，其中B = a-1M \bigcup a-2M\bigcup \cdots \cdots ，}}^{}$${\mathrm{简单验证即可以发现，aA2 \bigcup A1 = S2，bA4 \bigcup A3 = S2。到这里，咱们就完成了对球面上的分解的证实，至于对于整个球，咱们只需作链接球面与球心半径的半开半闭区间，其中球心为开区间端点，即可获得最终对整个球的分解。}}^{}$

 

${\mathrm{拓展2：}}^{}$

 

Zorn引理一直被称之为选择公理的等价命题。要理解Zorn公理，咱们首先要明白如下的概念：

定义1（顺序） 对于给定的集合  ，若他的某些元之间能创建关系  知足：

 

• 自反性（Reflexivity）： ;

 

 

• 对称性（Symmetry）：若  且  ，则  ;

 

• 传递性（Transitivity）: 若  且  , 则  ；

则称关系“  ”为集合  中的一个顺序（order）. 集  为关于顺序  的偏序集(partial ordered set).

好比一般的定义在实数域  上的"  "就是一个偏序关系，而就是关于顺序"  "的偏序集. 须要注意的是，在偏序集中，并不是任意两个元素之间都有顺序.

而若是  中的任何两个元素都有顺序，咱们也称其能够比较（comparable），也就是说：对任意  ,  和  中至少有一个成立，则称集合  为关于顺序  的全序集(total ordered set).

那么根据这必定义，刚所提到的  就是关于小于等于顺序"  "的全序集. 为了理解进一步这里的顺序和通常的大于等于和小于等于的关系，咱们再举一个例子：设  是一个非空集合，  是  的全部子集，若用包含关系"  "做为  中某些元素间的顺序，则  关于关系  成为一个半序集，但不是全序集.

 

定义2（上、下界）设  是半序集，  是  上的关系， ，若存在  , 使得对一切  , 都有  （对应的  ）成立，则称  为集合  的上界（对应的下界）（upper bound & lower bound）.

又设  为  的上界，若对  的任一上界（下界）  , 均有  (对应的  ), 则称  为  的上确界（对应的下确界）(supremum & infimum )，记做  (  ).

 

定义3 （极大元/极小元） 设  是半序集， 是  上的关系，  ,  . 若对一切  有要么（i）  (  ) 成立，要么(ii)  与  没有关系，则称  为  的极大元（极小元）（maximal element/minimal element）.

 

在理解上述几个概念的基础下，Zorn引理叙述以下：

Zorn引理 设  是非空偏序集，若是其中的任意全序子集有上界（下界），那么  有极大元（极小元）.

 

引理证实：采用反证法。先证实假如每一个以$x_0$为最小元的良序子集(以$\le$为良序关系)都有严格上界，那么任意给定一个序数，$(X,\le )$中必存在良序子集(以$\le$为良序关系)与该序数序同构.

证实采用强数学概括法。对于序数$\varnothing$来讲，存在$X$的良序子集$\varnothing$与其序同构。

对于序数$k$，假设$\forall x\in k$,$X$中都存在良序集$(y,\le )$与$x$序同构(注意，若是序数$k$不是天然数，那么在作出这个假设的时候要用到选择公理 ，为何?)，使得当$x_1,x_2\in k,x_1\subseteq x_2$，且$x_1$与$(y_1,\le )$序同构，$x_2$与$(y_2,\le )$序同构时，$(y_1,\le )$是$(y_2,\le )$的前段。把$(X,\le )$中全部与  属于$k$的序数   序同构的元素$(y,\le )$并起来，造成一个集合$B=\bigcup y$, 易得$B$关于$\le$造成良序集(为何?提示:使用这两个结论:1.某些序数造成的类$F$，在$F$中，必存在最小的序数$min\left(F\right)$,$min\left(F\right)$含于$F$中的每个序数。2.良序集的子集必是良序集。)，且$(B,\le )$是$(X,\le )$的子集(为何?)

当$k$不是一个极限序数，也就是说，存在序数$\beta$,使得$\beta \bigcup \left\{\beta \right\}=k$.那么，因为$X$里存在良序集$(y^{\prime },\le )$与$\beta$序同构,且由假设，$(y^{\prime },\le )$存在严格上界$l$，因此$(y^{\prime }\bigcup \{l\},\le )$与$k$序同构。

当$k$是一个极限序数，即不存在序数$\beta$,使得$\beta \bigcup \left\{\beta \right\}=k$。那么易得$k={\bigcup }_{\beta \in k}\beta$(为何?)。可见此时，$k$与$(B,\le )$序同构(为何?)。
综上，由强数学概括法，对于任何序数，$(X,\le )$中总存在良序子集(以$\le$为关系)与该序数序同构。

根据布拉利-福尔蒂悖论,全部的序数没法造成一个集合，因此$X$的全部子集没法造成一个集合(为何?)。这与幂集公理矛盾。所以假设错误。即存在$(X,\le )$的良序子集(以$\le$为良序关系)，该良序子集以$x_0$为最小元且没有严格上界。引理证毕。