[NOI2010] 能量采集 (数学)

[NOI2010] 能量采集

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物能够采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量聚集机器把这些植物采集到的能量聚集到一块儿。

栋栋的植物种得很是整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都同样，所以对于每一棵植物，栋栋能够用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。

因为能量聚集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。

能量聚集机器在聚集的过程当中有必定的能量损失。若是一棵植物与能量聚集机器链接而成的线段上有k棵植物，则能 量的损失为2k + 1。例如，当能量聚集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，因为链接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，若是一棵植物与能量聚集机器链接的线段上没有植物，则能量损失为1。如今要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量聚集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数n和m。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

输入输出样例

输入样例#1：

5 4

输出样例#1：

36

输入样例#2：

3 4

输出样例#2：

20

说明

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

Solution

对于题意,大体就是求这个
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)\times 2-1\]
\(gcd(i,j)\)表示(0,0)到(i,j)直线上点的个数+1

其实就是对于一个公约数x,方案数就是\((x\times 2-1)\times(\)以\(x\)为\(gcd\)的数对的个数\()\)

咱们令\(f[x]\)表示后一个括号中的意思,显然\(f[x]=(n/x)\times (m/x)-\sum_{i=2}^{min(n,m)/d}\times d\)的倍数
那么倒序枚举就能够了

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define lol long long
using namespace std;
const int N=1e5+10;
lol ans,n,m,f[N];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    if(n>m) swap(n,m);
    for (rg int i=n;i>=1;i--) {
        f[i]=(n/i)*(m/i);
        for (rg int j=i<<1;j<=n;j+=i) f[i]-=f[j];
        ans+=((i<<1)-1)*f[i];
    }cout<<ans<<endl;
}