10.算法分析

算法时间复杂度和空间复杂度

1. 了解时间复杂度对算法的选用会颇有帮助，好比说以前怎么样选择数据结构，都是经过每一个操做的时间复杂度的分析来看是否是知足需求，确定的是，在知足需求的状况下，时间复杂度越优越好，操做次数越少越好。

2. 大O是什么？能够理解为操做次数与数据个数的比例关系；O(1)是有限次数的操做；O(n)是操做正比于你的元素。

3. 大O表示法：

   参考《算法导论》的列子：考虑计算一个n * n的矩阵全部元素的和：

 列举两种方式：

# version1
total_sum = 0
for i in range(n):
    row_sum[i] = 0
    for j in range(n):
        row_sum[i] = row_sum[i] + matrix[i, j]
        total_sum = total_sum + matrix[i, j]

# version2
total_sum = 0
for i in range(n):
    row_sum[i] = 0
    for j in range(n):
        row_sum[i] = row_sum[i] + matrix[i, j]
    total_sum = total_sum + row_sum[i]    # 注意这里和上边的不一样

两种方式的主要区别在最后一行，

    第一个方式：假设矩阵是n*n的，这嵌套是在两层循环里面，并且每一步都循环n次，能够认为它是一个n*n的，循环两次，即 (2n)*n的时间复杂度。

    第二个方式：假设矩阵是n*n的，能看出最后一行不在上面的循环里面，上面的循环执行了n*n(嵌套在两层循环里面)，最后一行是执行n次，因此他是n*n+n的时间复杂度。

若是数据量很小，可能感受不出差别，可是若是放大n的增加的时候，总的操做次数就很明显区别了：

一般不关系每一个算法执行了多少次，更关心随输入规模的增长算法运行的时间将以什么样的速度增长，因此定义了一个符号，大O符号。

4. 如何计算时间复杂度

上面举例2个版本的计算矩阵和的代码，有两个公式：

① 2n * n = 2n²

② n+n*n = n+n²

当n很是大的时候，n*n(即n的平方)的数值将占主导，能够忽略单个n的影响：

n+n²<= 2n²

能够认为两个算法的时间复杂度都为O(n²)

5.经常使用的时间复杂度

列举一些经常使用的时间复杂度，按照增加速度排序，平常咱们的业务代码中最经常使用的是指数以前的复杂度，指数和阶乘的增加速度很是快， 当输入比较大的时候用在业务代码里是不可接受的。

O	名称	举例	补充
1	常量时间	一次赋值	nlogn如下的这些时间复杂度都是比较占优点的。
logn	对数时间	折半查找
n	线性时间	线性查找
nlogn	对数线性时间	快速排序
n2	平方	两重循环	越向上增加的越快那那怕是计算机很是快，依然要花不少时间运行。
n3	立方	三重循环
2n	指数	递归求斐波那契数列
n!	阶乘	旅行商问题

O(1)	固定时间内的一次操做，好比:一次赋值，一次加法，几回加法操做。
O(logn)	二分查找，操做一个有序数组的时候，每次均可以把它折半。
O(n)	查找都须要从头查到尾，找到了才能退出。
O(nlogn)	快速排序或归并
O(n2)	两重循环嵌套
O(n3)	三重嵌套
O(2n)	指数就有一些递归算法，没有优化的递归
O(n!)	旅行商问题，学术界讨论会比较多，工程会少一些

6.空间复杂度

    相比于时间，空间不少时候，不是主要的考虑因素，用户老爷们都等不及，并且如今存储都愈来愈便宜了，为了提高响应速度，能可多用一点空间，因此空间复杂度讨论的少一些；固然，若是数据量很是很是大，也会考虑空间占用的问题。

常见的空间复杂度的增加趋势图：

因此，工程上能接受的都是 nlogn 如下的空间复杂度，图中nlogn，n，log2n这些。