转载 - 整数划分问题

出处： http://www.cnblogs.com/wanghetao/archive/2013/11/25/3442192.html

整数划分 －－－ 一个老生长谈的问题:

描述

整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成如下要求。

 

 

输入

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

输出

对于输入的 n,k;
第一行： 将n划分红若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分红k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分红最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分红若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分红若干不一样整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行

样例输入

5 2

样例输出

7
2
3
3
3

提示

样例输出提示:
1.将5划分红若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分红2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3.将5划分红最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分红若干 奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分红若干不一样整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

 

 

下面是我根据网上的资料, 写出本身的分析和实现过程.

分析:

 

本题使用动态规划（Dynamic Programming）方法解决

一 求将n划分为若干正整数之和的划分数

 

1. 若划分的多个整数能够相同

　　设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数

　　(1) 当i<j 时，i不能划分为大于i的数，因此dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j 时，能够根据划分中是否含有j分为两种状况。若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，至关于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。因此当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j 时，若划分中含有j只有一种状况，若划分中不含j至关于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

dp[n][n]能够解决问题1，dp[n][k]表示将n划分为最大数不超过k的划分数，能够解决问题3。

 

2. 若划分的正整数必须不一样

　　设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不一样整数的划分数

　　(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，因此dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j时，能够根据划分中是否含有j分为两种状况。若划分中含有j，则其他的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；若划分中不含j，至关于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。因此当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j时，若划分中含有j只有一种状况，若划分中不含j至关于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]

 

dp[n][n]表示将n划分为不一样整数的划分数，能够解决问题5.

 

二 将n划分为k个整数的划分数

设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。

　　(1) i<j为不可能出现的状况，dp[i][j]=0；

　　(2) 若i=j，有一种状况：i能够划分为i个1之和，dp[i][j]=1；

　　(3) 若i>j，能够根据划分数中是否含有1分为两类：若划分数中含有1，能够使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]； 若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。因此i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

 

dp[n][k]为将n划分为k个整数的划分数，可解决问题2。

 

 

三 将n划分为若干正奇数之和的划分数

 

设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。

使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，能够获得f[i-j][j]，因此

g[i][j] = f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，能够将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，能够使用截边法对j个划分每个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。

因此f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数，为问题4的答案。

 

参考: [1]  http://blog.csdn.net/a83610312/article/details/12685653

         [2]  http://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html