红黑树（一）：插入

　　红黑树跟AVL树同样，也是平衡二叉树，其查找、增长、删除效率为O(lgN)，红黑树使用很是普遍，C++STL里面的map,set都是用红黑树实现的。

　　如下就是一棵红黑树：

　　

　　《算法导论》上定义红黑树需知足如下五个性质：

　　1.每一个结点是黑色或是红色。

　　2.根结点是黑色。

　　3.全部叶子节点是黑色（也就是上面Nil结点）

 　   4.若是一个节点是红色的，则它的两个子结点都是黑色的。（也就是说父子节点不能同时是红色节点）

　　5.对每一个节点，从该结点到到叶子节点的路径上，均包含相同数目的黑色节点。

　　须要说明一下的是，以上Nil结点是”哨兵节点“，将全部子节点为空的指针都以此Nil节点来代替，并且根节点的父节点也是Nil节点。对于第五条，任一节点到Nil节点的黑色结点个数（包含自己及Nil节点）都相同，也就是所谓的黑高相同。

　　先来定义红黑树的节点，红黑树须要一个指示颜色的属性，用一个位bool值来表示就能够了，同时，红黑树还须要根据父节点的颜色来修复红黑树性质，所以须要指向父节点的指针。

1 struct RBTreeNode {
2     RBTreeNode* pParent;
3     RBTreeNode* pLeft;
4     RBTreeNode* pRight;
5     bool isRed;
6     int nData;
7 };

　　同时，定义红黑树的颜色值，以及Nil节点：

1 #define RBTreeNodeBlack false
2 #define RBTreeNodeRed true
3 #define RBTreeNodePtr RBTreeNode*
4 #define RBTreeNilNodePtr &RBTreeNilNode

　　本节讨论红黑树的插入，由于红黑树也是二叉搜索树，全部红黑树的插入也遵循二叉搜索树插入的过程，只是最后为了保证红黑树的性质，须要在插入后对树进行修正，就像对AVL树执行插入后再再平衡同样。

　　先来考虑一个问题，新插入一个节点时，这个新插入的节点是用红色的好仍是黑色好？根据红黑树性质5，每一个节点有相同黑高，若是将新插入节点的颜色设为黑色，则树会当即不知足红黑树性质，由于通过这个新插入节点的路径其黑高都会比其它路径多出一来，

　　因此，要将新插入的节点颜色设为红色，可是对于根节点是个例外。另外，当新插入一个红色节点时，红黑树性质的123均可以获得维持，只有可能破坏性质4和性质5，如下分几种状况来分别讨论新节点插入。

　　（如下节点当其左右节点为空时，都为Nil节点，而且Nil节点算在节点的黑高里面，此处为了画图简单并未将Nil节点画）

　　约定新插入节点为N，N的父节点为P，N的祖父节点为G,N的叔节点为U。

　　1、树为空

　　　　这是最简单的状况，直接将新插入节点标为黑色便可

　　　　

　　2、父节点是黑色

　　　　这是最简单的状况，这个时候，由于父节点是黑色，而新插入节点是红色，全部新插入节点并无增长通过此节点的全部路径黑高，依然知足红黑树全部性质，无需作修正处理。

　　　　（N为右节点时也是同样的）

　　3、父节点是红色

　　　　当父节点是红色时，破坏了红黑树的性质4，父子节点不能同时为红色，也正由于性质4，因此祖父节点必定是黑色，否则在插入前不知足红黑树性质4.而叔节点颜色可红可黑对于叔节点颜色按照红和黑两种状况来分开　　讨论

　　一、当叔节点颜色是红色时（N是左节点或右节点都适合此状况）

　　

　　按上图所示，这个时候，须要将P，U和颜色和G的颜色交换，便可从局部上修正了性质4，并保持性质5，可是这个时候G的颜色由黑变红，可能G的父节点也是红色， 这个时候，就要把G节点按照处理N结点的状况再处理一次。也就是向上传递修复。

　　2.当U节点是黑色，且N是左节点时

　　

　　此时，先对G节点执行右旋转操做（不熟悉旋转操做的请看个人上一篇博客AVL树，必定要很是熟悉旋转操做才能理解红黑树），而后交换P，G节点的颜色，便可完成修复，本子树根节点G修复前是黑色，修复后，新的子树根节点P仍然是黑色，至此，修复完毕，无需向上传递。

　　3.当U节点是黑色，且N是右节点时

　　

　　由以上由与前一种状况相比，惟一的区别是N是右子节点，因此先对P节点执行左旋转，便可转化成前一种讨论过的状况，而后按前一种状况来处理便可。

　　好了，红黑树节点的全部状况都在上面了，总的来看并不复杂，树为空和父节点为黑色这两种状况很简单，无需多言，至于下面的几种状况，总结起来就是，如何处理取决于U节点颜色

　　为红时则交换PU和G的颜色，而后再对G处理。

　　为黑时分N为左右节点情，为左节点时右旋转G，而后交换P与G的颜色，为右子节点时先左旋转P，而后再按左节点状况进行处理。

　　红黑树插入代码以下：（代码中的状况一二三四五，以图中的（1）（2）（3）（4）（5）对照）

 1 RBTreeNode* RBTreeInsert(RBTreeNode* pRoot, int nData) {
 2     if (pRoot == RBTreeNilNodePtr) {
 3         pRoot = MakeNewRBTreeNode(RBTreeNilNodePtr, nData);
 4         pRoot->isRed = RBTreeNodeBlack;
 5         return pRoot;
 6     }
 7     RBTreeNode* pCursor = pRoot;
 8     RBTreeNode* pParent = pRoot->pParent;
 9     while (pCursor != RBTreeNilNodePtr) {
10         pParent = pCursor;
11         if (nData > pCursor->nData) {
12             pCursor = pCursor->pRight;
13         }
14         else if (nData < pCursor->nData) {
15             pCursor = pCursor->pLeft;
16         }
17         else 
18             break;
19     }
20     if (pCursor == RBTreeNilNodePtr && pParent != RBTreeNilNodePtr) {
21         RBTreeNode* pNode = MakeNewRBTreeNode(pParent, nData);
22         if (nData > pParent->nData)
23             pParent->pRight = pNode;
24         else
25             pParent->pLeft = pNode;
26 
27         FixRBTreeNodeColor_Insert(&pRoot, pNode);
28     }
29     return pRoot;
30 }
31 
32 void FixRBTreeNodeColor_Insert(RBTreeNode** pRoot, RBTreeNode* pNode) {
33     if (!pNode->isRed)
34         return;
35 
36     RBTreeNode* pParent = pNode->pParent;
37     if (pParent == RBTreeNilNodePtr) {
38         //第一种状况
39         pNode->isRed = RBTreeNodeBlack;
40         return;
41     }
42     else if (!pParent->isRed || pParent->pParent == RBTreeNilNodePtr)//pParent->pParent == RBTreeNilNodePtr为第二种状况
43         return;
44     RBTreeNode* pGrandParent = pParent->pParent;
45     if (pParent == pGrandParent->pLeft) {
46         RBTreeNode* pUncle = pGrandParent->pRight;
47         if (pUncle != RBTreeNilNodePtr) {
48             if (pUncle->isRed) {
49                 //状况3：不须要旋转操做，直接交换颜色，而后往上递归检查 
50                 pParent->isRed = pUncle->isRed = RBTreeNodeBlack;
51                 pGrandParent->isRed = RBTreeNodeRed;
52                 return FixRBTreeNodeColor_Insert(pRoot, pGrandParent);
53             }
54         }
55         if (pNode == pParent->pRight) {
56             //状况5，先左旋pParent转换成状况4
57             RBTreeLeftRotate(pRoot, pParent);
58         }
59         //状况4
60         pGrandParent = RBTreeRightRotate(pRoot, pGrandParent);
61         SwapRBTreeNodeColor(pGrandParent, pGrandParent->pRight);
62     }
63     else {
64         //上面if分支的镜像
65         RBTreeNode* pUncle = pGrandParent->pLeft;
66         if (pUncle != RBTreeNilNodePtr) {
67             if (pUncle->isRed) {
68                 //状况3：不须要旋转操做，直接交换颜色，而后往上递归检查 
69                 pParent->isRed = pUncle->isRed = RBTreeNodeBlack;
70                 pGrandParent->isRed = RBTreeNodeRed;
71                 return FixRBTreeNodeColor_Insert(pRoot, pGrandParent);
72             }
73         }
74         if (pNode == pParent->pLeft) {
75             //状况5，先右旋pParent转换成状况4
76             RBTreeRightRotate(pRoot, pParent);
77         }
78         //状况4
79         pGrandParent = RBTreeLeftRotate(pRoot, pGrandParent);
80         SwapRBTreeNodeColor(pGrandParent, pGrandParent->pLeft);
81     }
82 }