数论——算数基本定理、欧几里得算法、丢番图方程

时间 2019-12-13

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原文原文链接

整除

【定义】对于 $a,b \in Z$ ，若是有 $q \in Z$ 使得，则称整除，记为.ios

关于整除有以下结论：算法

若，，且，则.

最大公因子

【定义】全部同时整除和的整数中，最大的那个，称为和的最大公因子，记为，也可记为.函数

【引理】设，这里 $a,b,c,q\in Z$ ，则.测试

证实：因为，全部和的公因子同时整除和，因此也能整除，因此也是和的公因子。因为，全部和的公因子同时整除和，因此也能整除，因此也是和的公因子。也就是说，和的公因子，和的公因子是同一拨，那么和的公因子中最大的那个，和的公因子中最大的那个固然是同一个了。因此。ui

欧几里得算法

欧几里德算法又称展转相除法，是指用于计算两个正整数和的最大公因子。证实过程主要依据上面的引理。spa

代码实现以下：code

#include<algorithm>
#include<iostream>

/* 欧几里德算法：展转求余 原理： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) 当b为0时，两数的最大公约数即为a */
int gcd(int a, int b){
    if (a < b){
        std::swap(a, b);
    }
    if (0 == b){
        return a;
    }else{
        return gcd(b, a % b);
    }
}

// 简单测试
int main() {
    int t = gcd(10,25);
    std::cout<<t;
}
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扩展欧几里得算法

【定义】对于 $a_1,\cdots,a_n\in Z$ ，咱们称 $a_1x_1+ \cdots + a_nx_n(x_1,\cdots,x_n\in Z)$ 为 $a_1,\cdots,a_n$ 的整系数线性组合，并用 $a_1Z+\cdots+a_nZ$ 表示它们构成的集合。数学

【扩展欧几里得算法】设和是两个正整数（至少有一个非零），，则存在整数和使得成立，若是和都是素数，那么存在整数和使得成立。string

代码实现：it

def egcd(a,b):
    if 0 == b:
        return a,1,0
    gcd,k1,k2 = egcd(b, a%b)
    return gcd,k2,k1-a/b*k2
复制代码

互素

最大公因子的最小可能取值是，当，即和的最大公因子为时，咱们称和互素。

乘法逆元

当时，有时候咱们很但愿求得一个数， $0\leq k \lt b$ ，使 $ka\ mod\ b=1$ ，这样的数咱们称为的乘法逆元，这看起来就像是在到这些整数中找到的倒数同样。那怎么找到这样的数呢？

扩展欧几里得算法能够帮咱们解决这个问题。

因为，根据扩展欧几里得算法，可求得两个系数和，使得，因此有，因此 $k_1a\ mod\ b=1$ ，因此 $(k_1\ mod\ b)a\ mod\ b=1$ ，而 $0\leq(k_1\ mod\ b)\lt b$ ，因此 $(k_1\ mod\ b)$ 就是咱们想要的那个乘法逆元。

算数基本定理

【算数基本定理（整数的惟一分解定理）】任何大于的整数可表示成有限个（可重复）素数的乘积，并且不计乘积中因子顺序时分解仍是惟一的。

根据算数基本定理，大于的整数惟一地表示成 $p_1^{a_1}\cdot \cdots \cdot p_r^{a_r}$ 的形式，这里 $p_1<\cdots<p_r$ 为不一样素数， $a_1,\cdots,a_r\in{Z^{+}}$ ，咱们称这样的形式为的标准（素数）分解式。

欧拉函数

对任意一个正整数，在到的这个整数里，显然有些和是互素的，而有些和是不互素的，那些和互素的整数的数量就是的欧拉函数，记做 $\phi(n)$ 。

那么 $\phi(n)$ 该怎么计算呢？

咱们都知道任意整数均可以表示成它的全部素因子的乘积：

n=p_1^{l_1}p_2^{l_2}\cdots p_s^{l_s}\tag{1}

因此全部那些和不互素的数，必定和有其中某个素因子做为公共因子。因此咱们只要从到中的全部整数中，是 $p_1,p_2,\cdots,p_s$ 的倍数的依次剔除，剩下的就是与互素的数。

例如，的倍数一共有多少个呢，因为的倍数在到中是均匀分布的，因此占据的比例是 $\frac{1}{p_1}$ ，剔除的倍数后，还剩下 $n(1-\frac{1}{p_1})$ 个；在剩下的数中，因为的倍数在到中也是均匀分布的，因此占据的比例是 $\frac{1}{p_1}$ ，因此再剔除的倍数后，剩下 $n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})$ 个。以此类推，当把全部素因子的整数倍都剔除后，剩下的数共有 $n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_s})$ 个。即： $\phi(n) = n\prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_s}) \tag{2}$ $

因而可知，求欧拉函数的关键在于求出的全部素因子，即对作素因子分解。

有一种特殊状况，为素数，那么仅有一个素因子，即它本身。此时 $\phi(n)=n(1-\frac{1}{n})=n-1$ 。

还有一种特殊状况，仅有两个素因子，即，那么 $\phi(n)=pq(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})=(p-1)(q-1)$ 。若是已知和，显然 $\phi(n)$ 是好求的；而若是仅知道，而不知道和，那么必需要先对作素因子分解，获得和，才能求得 $\phi(n)$ 。

若是这两个素因子都极大，那么固然也就极大。要从到这个数中找出这两个素因子，就如同大海捞针，复杂度极高。

丢番图方程

古希腊数学家丢番图首次系统地研究了方程的整数解问题，如今涉及整数解的方程都叫作丢番图方程，也叫不定方程。

丢番图方程，又称不定方程，是未知数只能使用整数的整数系数多项式等式；即形式如 $a_1x_1^{b_1} + a_2x_2^{b_2}+\cdots +a_nx_n^{b_n}=c$ 的等式，而且其中全部的,和均是整数。若其中能找到一组整数解, $m_2\cdots m_n$ 者则称之为有整数解。线性丢番图方程为线性整数系数多项式等式，即此多项式为次数为或的单项式的和。

【定理】设 $a_1,\cdots,a_n,b\in Z$ ，则线性丢番图方程 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$ 有整数解当且仅当 $(a_1,\cdots,a_n)|b$ .

贝祖等式

对任何整數和，关于未知数和的线性丢番图方程（称为贝祖等式）：.有整数解时当且仅当是和的最大公约数的倍数，即.