初探微积分

时间 2019-11-11

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说在前面

微积分因为刚刚学习，因此趁着有印象赶快整理下来
本文章适合入门，其实文章里面大部分都是有关于导数的内容，积份内容只有两个函数

平均变化率

概念：通常的，已知函数y=f（x），x0，x1是其定义域不一样的两点，记做： $\Delta$ x=x1-x0
　　　$\Delta$y=y1-y0=f（x1）-f（x0）=f（x0+$\Delta$x）-f（x1）
　　　则当$\Delta$x!=0时，商$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}$=$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$
　　　称函数y=f（x）在区间[x0,x0+$\Delta$x](或[x0+$\Delta$x,x0])的平均变化率学习

例题：1.求函数y=x^2在区间[x0,x0+$\Delta$x]的平均变化率ui

　　　2.求函数y=$\dfrac {1}{x}$在区间[x0,x0+$\Delta$x]的平均变化率spa

瞬时变化率

概念：当$\Delta$x趋近于0时，平均变化率$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}$=$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$趋近于一个常数l
　　　那么称函数l为函数y=f（x）在点x0的瞬时变化率
记做：当$\Delta$x ——> 0时，$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$ ——> lblog

　　　即$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=l$图片

f（x）在点x0处的导数

概念：函数y=f（x）在点x0的瞬时变化率
　　　一般称为f（x）在点x0处的导数，并记做$f'\left( x_{0}\right)$
$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=f'\left( x_{0}\right)$入门

导数定义

概念：若是f（x）在开区间（a，b）内每一点x都是可导的，称f（x）在区间（a，b）可导
　　　区间（a，b）的每一个值都对应一个肯定的导数$f'\left( x\right)$
　　　因而在区间（a，b）内，$f'\left( x\right)$可构成一个新函数
　　　称为y=f（x）的导函数，记做$f'\left( x\right)$通称导数
　　　
例题：1.火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100m/s
　　　试问熄火多长时间火箭上上速度为$0$
　　　
　　　2.圆S=π r^2，周长l=2πr求之间的关系class

导数的几何意义

概念：经过直线和曲线图像咱们能够得知两线有割线也有切线
　　　显然，咱们能够知道割线的斜率就是平均变化率
　　　当割线成为切线的时候$\Delta$x ——>$0$，割线斜率趋近于切线斜率
　　　
　　　即$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=f'\left( x_{0}\right)$
　　　
例题：1.求抛物线$y=x^{2}$在点（x0，f（x0））的导数的切线的斜率等于$f'\left( x_{0}\right)$方法

　　　2.求双曲线$y=\dfrac {1}{x}$在点（2,1/2）的切线方程im

导数的运算

常值函数的导数：
　　　　　　　　　$y=f\left( x\right) \equiv c$（c为常数）
　　　　　　　　　$y'=f'\left( x\right) =C'=\lim _{\Delta x\rightharpoonup 0}\dfrac {c-c}{\Delta x}=0$
根据以上的方法咱们能够获得几个式子　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y=x　　　y'=x'=1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=x^{2}$　　　$y=\left(x^{2}\right)'＝2x$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=\dfrac {1}{x}$　　　$y'=-\dfrac {1}{x^{2}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=x^{3}$　　　$y'=3x^{2}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=\sqrt {x}$　　　$y'=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {x_{0}+\Delta }x-\sqrt {x_{0}}}{\Delta x}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

基本初等函数的公示表

导数的四则运算

1.函数和或差的求法

$\left[ f\left( x\right) \pm g\left( x\right) \right] '=f'\left( x\right) \pm g'\left( x\right)$

2.函数积的求法

$\left[ t\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \right] '=f'\left( x\right) \cdot g\left( x\right) +g'\left( x\right) \cdot f\left( x\right)$

3.函数商的求法

$\left[ \dfrac {f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right]' =\dfrac {f'\left( x\right) g\left( x\right) -f\left( x\right) g'\left( x\right) }{g^{2}\left( x\right) }$

利用导数判断函数的单调性

1.在区间（a，b）为$f'\left( x\right) $>0则f（x）在此区间为增函数，此区间为此函数的增区间

2.在区间（a，b）为$f'\left( x\right) $<0则f（x）在此区间为减函数，此区间为此函数的减区间