数据结构之图(八)——最短路径问题

时间 2021-07-13

最短路径问题抽象

典型用途：交通网络问题——从甲地到乙地是否有公路连通？在有许多条公路连通的情况下，哪一条最短？
- 交通网络用有向网表示：
  顶点——表示地点
  弧——表示两个地点有路连通
  弧上的权值——表示两地点之间的距离、交通费或途中所花费的时间的等。
  
  如何能够使一个地点到另一个地点的运输时间最短或运费最省？这就是一个求两个地点的最短路径问题。
问题抽象： 在有向网中A点(源点)到达B点(终点)的多条路径中，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。
最短路径与最小生成树不同，路径上不一定包含n个顶点，也不一定包含n-1条边。
通常最短路径问题可分为以下两类：
- 第一类：两点间最短路径
  
  知道源点(v1)和终点(v7)，找到一条最短路径(图中蓝色边)。
- 第二类：某源点到其他各点最短路径
  
  知道源点(v1)，求到其他各顶点的最短路径(如表所示)。
两种常用算法：
- 单源最短路径(第一类问题)——Dijkstra算法
- 所有结点间的最短路径(第二类问题)——Floyd算法

Dijkstra算法

算法思路：
- 1.把顶点集合V分成两组：
  - (1) S:已求出最短路径的顶点的集合
  - (2) T=V-S:尚未确定最短路径的顶点集合
- 2.将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，并要满足以下两个条件：
  - (1)从源点 $v_0$ 到S中各顶点的最短路径长度都不大于从 $v_0$ 到T中任何顶点的最短路径长度。
  - (2) 每个顶点对应一个距离值：
    S中的顶点：从 $v_0$ 到此顶点的最短路径长度
    T中的顶点：从 $v_0$ 到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度。
算法步骤：
- 1.初始时，令 $S=\{v_0\},T=\{其余顶点\}$ ，T中顶点对应的距离值用辅助数组D存放。
  D[i]的初值： 若 $<v_0,v_i>$ 存在，则为其权值；否则为 $\infty$ 。
- 2.从T中选取一个距离值最小的顶点 $v_j$ ，加入S。
  对T中顶点的距离值进行修改：若加进 $v_j$ 作中间顶点，从 $v_0$ 到 $v_i$ 的距离值比不加 $v_j$ 的路径要短，则修改此距离值。
- 3.重复上述步骤，直至S=V为止。
例子说明：
1.初始状态如下图，此时， $S=\{v_0\},T=\{v_1-v_6\}$ 。

2.从T中找一个距离值最小的结点 $v_2$ 加入到S集合中， $S=\{v_0,v_2\},T=\{v_1,v_3-v_6\}$ ，修改距离值。

3.从T中找一个距离值最小的结点 $v_1$ 加入到S集合中， $S=\{v_0,v_2,v_1\},T=\{v_3-v_6\}$ ，修改距离值。

4.从T中找一个距离值最小的结点 $v_3$ 加入到S集合中， $S=\{v_0,v_2,v_1,v_3\},T=\{v_4-v_6\}$ ，修改距离值。

5.从T中找一个距离值最小的结点 $v_4$ 加入到S集合中， $S=\{v_0,v_2,v_1,v_3,v_4\},T=\{v_5,v_6\}$ ，修改距离值。

6.从T中找一个距离值最小的结点 $v_6$ 加入到S集合中， $S=\{v_0,v_2,v_1,v_3,v_4,v_6\},T=\{v_5\}$ ，修改距离值。

6.从T中找一个距离值最小的结点 $v_5$ 加入到S集合中， $S=\{v_0,v_2,v_1,v_3,v_4,v_6,v_5\},T=\{\}$ ，修改距离值。此时，S=V，结束。

Floyd算法

算法思想：
- 逐个顶点试探
- 从 $v_i$ 到 $v_j$ 的所有可能存在的路径中
- 选出一条长度最短的路径
算法步骤：
- 初始时置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧 $<v_i,v_j>$ ，则对应元素为权值；否则为 $\infty$ 。
- 逐步试着在原直接路径中增加中间结点，若加入中间结点后路径变短，则修改之；否则，维持原值。所有顶点试探完毕，算法结束。
例子说明：
1.初始时，如下图，

2.加入结点A，进行试探，

3.加入结点B，进行试探，

4.加入结点C，进行试探，
5.此时，所有顶点试探完毕，算法结束。