理解动态规划

动态规划是一个经典而实用的算法，常常在面试题中出现。

以最著名的刷题网站leetcode为例，目前有147道动态规划算法题，占比约 13% 。

其重要性可见一斑~

这篇文章就来详细分析一下动态规划相关知识点。

定义

综合维基百科和《算法导论》的说法，能使用动态规划解决的问题必须包含下面两个要素：

1. 重叠子问题。
2. 最优子结构。

重叠子问题很好理解，递归就是解决重叠子问题的一种方式。 简单理解就是父问题和子问题处理方式一致，可是规模不一样。 下面来重点须要分析最优优子结构。

最优子结构

什么是最优子结构？

问题的最优解包含其子问题的最优解。

或者说就是经过子问题的解能够推导出父问题的解。记住是子问题的解而不是子问题自己。

如何理解？举个例子：

给定一个整数数列 [12, 18, 21, 60]，求下面两个问题

1. 偶数个数。
2. 最小公倍数。

对于第一个问题就是具备最优子结构，由于将问题（数组）拆分后求解的结果能够用于问题自己的解。

子数组的偶数个数 + 当前数是否为偶数 ? 1 : 0 = 数组的偶数个数

第二个问题就不具备最优子结构，将问题（数组）拆分后求得的解不能直接用于问题自己的解。

子数组的最小公倍数 + 数组某个元素 =/=> 当前数组最小公倍数

第一个问题咱们不须要关心子数组的内容，只须要关心子数组的结果便可，而第二个问题咱们须要知道子数组的组成。

固然有专业术语能够来表述这种情形，叫作“无后效性”。

如何找到最优子结构？

《算法导论》中给出的通用模式（套路）以下：

1. 将问题进行拆分，一般会拆分红多个待求解的子问题。
2. 假定已经知道了子问题的最优解。
3. 给定最优解选择后，肯定会产生哪些子问题，对子问题空间进行刻画。
4. 证实子问题的解是原问题最优解的组成部分。

虽然我对描述语言进行了精简，可是看起来仍是有些啰嗦。再用一句话来归纳就是“不断缩减问题的规模”，记住是缩减规模不是缩减条件。

以爬楼梯问题为例进行说明：

题目：一我的上楼梯，楼梯有n阶台阶，一次能够上1阶或2阶。问有多少种上楼梯的方式。

对于这个问题使用动态规划来考虑，分解的子问题应该是：

爬 n - 1 阶楼梯有多少种方式
爬 n - 2 阶楼梯有多少种方式
复制代码

而缩减条件的方式是（这是错误的思路）

爬 n 阶楼梯每次只爬1阶有多少种方式
爬 n 阶楼梯每次只爬2阶有多少种方式
复制代码

优点

理论上来讲，大多数问题均可以经过（暴力）枚举来解决。可是一般枚举是下册，由于效率过低，没法在有限的时间或空间内获得结果。

因此咱们若是将动态规划算法和枚举相比，那么它至少具备两个优点。

• 筛选。父问题必定是从子问题的最优解获得，也就是说子问题的非最优解是不会被考虑和计算的。
• 缓存。子问题的最优解会被记录下来，用于推导父问题的最优解，从而避免重复计算。

例子

借用知乎答主阮行止的一个例子进行说明。

题目：一个国家的钞票面额分别是1元、5元、11元，如何用最少的钞票凑出15元？

先看解答过程：

用dp(n)函数表示凑出n元时须要的钞票数量。 那么n = 15时考虑可能由 n=10 时加一张5元，n=14 时加一张1元，n=4 时加一张11元。用公式表述以下：

dp(15) = min{dp(10) + 1, dp(14) + 1, dp(4) + 1}

加上已知条件：dp(11) = dp(5) = dp(1) = 1，整个推导公式以下图：

{% asset_img dp15.jpg %}

而后再结合起来理解动态规划算法的优点。

• 筛选。例如 dp(15) = dp(5) + dp(5) + dp(1) + dp(1) + dp(1) + dp(1) + dp(1) 这种解显示是不会被计算的，由于它不是某个子问题的最优子结构。这样的好处是避免了无效计算。
• 缓存。例如 dp(3) = dp(2) + 1 = [dp(1) + 1] + 1 这个子问题的最优解会被重复用到，因此能够用数组来缓存子问题的最优解，从而避免了重复计算。

思考题

某公司出售一段长度为99米可切割的钢条，已知钢条的价格为Pi(i=1,2,3...)，钢条长度均为整数。长度价格关系以下：

长度i    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
价格Pi   1    5    8    5    10   17   17   20   24   30
复制代码

求收益最大的切割方案。

---

参考：

• 《动态规划算法的优化技巧》
• 动态规划算法题
• 知乎 - 王勐 关于《什么是动态规划？动态规划的意义是什么？》问题的回答
• 《算法导论》第15章
• 什么是动态规划？动态规划的意义是什么？ - 阮行止的回答 - 知乎

---

原文连接：tech.gtxlab.com/dp.html 做者信息：朱德龙，人和将来高级前端工程师。