莫比乌斯反演学习笔记

莫比乌斯反演学习笔记

Oi-Wiki上说学习莫比乌斯反演须要Dirichlet 卷积，其实不学它也没有什么问题。

前置知识

整除分块

能够用到整除分块的形式，大体是这样的：

\[\sum_{i=1}^{n}(n/i) \]

这个 \(O(n)\) 很是好写，可是题目提升了要求，必须 \(O(\sqrt n)\) 把它求出来。
很是显然的，许多数向下取整是相同的，而且是呈块状分布的，咱们能够借助这个性质来求它。
咱们发现对于每个值相同的块，它的最后一个数就是 \(n/(n/i)\) 。得出这个结论后，咱们就能够作的 \(O(\sqrt n)\)处理了。
证实：考虑把 \(n/(n/i) + 1\) 后再乘 \(n/i\)，不难发现已经大于 n 了，得证。

for(register int l = 1, r; l <= n; l = r+1) {
	r = n / (n/l);
	ans += (r-l+1) * (n/l);
}

• 与其余函数的联系
  有时候，可能推出来的式子不必定就是一个很裸的整除分块，可能会与某些积性函数相乘，如：\(μ,φ\)...... 这时候，咱们就须要对这些函数统计一个前缀和。由于，每当咱们使用整除分块跳过一个区间的时候，其所对应的函数值也跳过了一个区间。因此此时，就须要乘上那一个区间的函数值。

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数实际上是一个很是简单的函数。
设正整数 \(N\) 质因数分解后为 \(N = p_1^{c_1} * p_2^{c_2} * ... * p_m^{c_m}\)，定义函数：

\[\mu(N) =\begin{cases} 0 (任意c_i>1)\\1(m \equiv 0(mod2))\\-1(m \equiv 1(mod2)) \end{cases} \]

这就是莫比乌斯函数。
应该比较好理解。
莫比乌斯函数也有一些性质：

• 对于任意正整数 \(n\)，都有 \(\sum_{d | n}^{}\mu(d) = [n == 1]\)，
  就是说除了 n 为 1，其余的都是0。
  这个就是用μ是容斥系数的性质能够证实。
  能够考虑用组合数的性质证实。
  这一条性质是莫比乌斯反演中最经常使用的。
• 对于任意正整数 \(n\)，都有 $ \sum_{d|n}\mu(d) / d = \varphi(n)/n$
  这个暂时我证实不出来。

再就是线性筛莫比乌斯函数：

bool vis[N];
int mu[N], prime[N], tot;
void shai(int n) {
	mu[1] = 1;
	for(register int i = 2; i <= n; ++i) {
		if(!vis[i]) { mu[i] = -1; prime[++tot] = i;}
		for(register int j = 1; j <= tot && prime[j] * i <= n; ++j) {
			vis[prime[j] * i] = 1;
			if(i % prime[j] == 0) break;
			else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
		}
	}
}

感受很好理解。

正文

终于到了莫比乌斯反演了，其实学了折磨多前置知识后，莫比乌斯反演就是个式子。
设 \(F(n)\) 和 \(f(n)\) 是定义在非负整数上的函数，且知足：

\[F(n) = \sum_{d|n}f(d) \]

那么就有 ：

\[f(n) = \sum_{d|n}\mu(d)F(n/d) \]

这就是莫比乌斯反演定理。

证实

莫比乌斯反演的证实主要有两种方式，其中一种就是经过定义来证实 ; 另一种就是利用狄利克雷卷积证实，咱们只说第一种：

\[\sum_{d|n}\mu(d)F(n/d) = \sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|(n/d)}f(i) = \sum_{i|n}f(i)\sum_{d|(n/i)}\mu(d) = f(n) \]

由此得证。
若是不知道最后一步怎么来的，能够再去看性质一，至于和式的变换，就本身脑补一下吧。

莫比乌斯反演的另外一种形式：
当 \(F(n)\) 和 \(f(n)\) 知足 ：

\[F(n) = \sum_{n|d}f(d) \]

那么能够得：

\[f(n) = \sum_{n|d}\mu(d/n)F(d) \]

感受这个式子，可能在莫比乌斯反演中更加好用。

总结

莫比乌斯反演是一个学会了也不会作题的知识，因此只有多推式子，才能用熟它，多作题吧。