LCT摘要

时间 2019-12-07

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介绍、用途

LCT是树链剖分中的一种，又叫实链剖分、动态树，经常使用于维护动态的树、森林。php

维护方式

LCT并不直接维护原树，而是用一堆splay做为辅助树来维护。原树中的一条实链上的点在一棵splay中，虚边体现为辅助上的链接两棵splay的虚边，只认爸爸不认儿子。c++

变量介绍

 1 int n,m;  2 struct Node {  3     int fa,son[2];                                                                                            //爸爸、儿子（0左1右）
 4     int val,all;                                                                                            //该点权值、子树异或和
 5     char ifz;                                                                                                //是否翻转（0否1是）
 6     void res() {                                                                                            //重置（然并卵）
 7         fa=son[0]=son[1]=val=0;  8  }  9 } tree[maxn]; 10 int pre[maxn],inp;                                                                                            //翻转序列（splay用）

var

各类操做

判断一个点是哪一个儿子

很少说了git

1 char which(int x) { 2     return x==tree[tree[x].fa].son[1]; 3 }

which

判断一个点是否是该splay的根

也很少说了ide

1 char isroot(int x) { 2     return x!=tree[tree[x].fa].son[which(x)]; 3 }

isroot

splay的操做

 1 void rotate(int x) {  2     int f=tree[x].fa,ff=tree[f].fa,c=which(x);  3     if(!isroot(f)) tree[ff].son[which(f)]=x;                                                                //若它爸是根就不要搞它爷了
 4     tree[x].fa=ff;  5     tree[f].son[c]=tree[x].son[c^1];  6     tree[tree[f].son[c]].fa=f;  7     tree[x].son[c^1]=f;  8     tree[f].fa=x;  9  update(f); 10  update(x); 11 } 12 void splay(int x) { 13     int f; 14     pre[inp=1]=x; 15     for(f=x; !isroot(f); f=tree[f].fa) pre[++inp]=tree[f].fa;                                                //挖出它到根的点
16     fdi(i,inp,1,1) pushdown(pre[i]);                                                                        //所有pushdown
17     for(; !isroot(x); rotate(x))if(!isroot(tree[x].fa))rotate((which(tree[x].fa)^which(x))?x:tree[x].fa);    //无需pushdown
18 }

splay

打通这个点到原树的根为实链

这个是重点！！！是LCT的核心！！！ui

首先，先将该节点splay到根，并将其爸爸splay到根。因而咱们知道，它爸爸的右儿子深度大于它爸爸，是须要砍成虚边的点，而它的深度也大于它爸爸，因此直接将它爸爸的右儿子变成它。重复上述操做，直到它无爸爸。spa

1 void access(int x) { 2     for(int pr=0; x; pr=x,x=tree[x].fa)splay(x),tree[x].son[1]=pr,update(x); 3 }

access

将这个点变成原树的根

先打通这个点到根，并将它splay到根。而后咱们能够发现，不在这棵splay上的点不受影响，而这棵splay上的点深浅颠倒，对应到splay上就是区间翻转。因此给它打上一个翻转标记。3d

1 void makeroot(int x) { 2  access(x); 3  splay(x); 4     tree[x].ifz^=1;                                                                                            //打翻转标记
5 }

makeroot

查找这个点所在原树的根

先打通它到根并splay，而后找到它所在splay的最左边的点（即一直往左儿子找）。code

1 int find(int x) { 2     for(access(x),splay(x); tree[x].son[0]; x=tree[x].son[0]); 3     return x; 4 }

find

链接个点并链接两棵树

将一个点变成根，并令这个点爸爸为另外一个点。注意先判断这两个点在不在一棵树内，在就不用连了。blog

1 void link(int x,int y) { 2  makeroot(x); 3     tree[x].fa=y; 4 }

link

切断两点之间的边

先判断在不在一棵树内，不在就不切。而后将一个点变成根，另外一个点打通到根并splay到根。易发现若这两个点间有边则这棵splay中只有它们俩。判断一下便可。get

1 void cut(int x,int y) { 2  makeroot(x); 3  access(y); 4  splay(y); 5     if(tree[y].son[0]==x&&!tree[y].son[1]&&!tree[x].son[0]&&!tree[x].son[1])tree[y].son[0]=tree[x].fa=0; 6 }

cut

改变一个点的值

将这个点变成根，并将其splay，再改变权值便可。

1 void change(int x,int y) { 2  makeroot(x); 3  splay(x); 4     tree[x].val=y; 5  update(x); 6 }

change

查询x到y的异或和

将x变成根，打通y并splay，直接查询便可。

1 int query(int x,int y) { 2  makeroot(x); 3  access(y); 4  splay(y); 5     return tree[y].all; 6 }

query

时空复杂度

时间复杂度

splay：均摊O(logn)的不用说了吧

access：因为每次access最多有logn条实边变成虚边，splay复杂度也仅为均摊O(logn)，所以时间复杂度均摊O(logn)

makeroot：makeroot的开销主要为access，所以也为均摊O(logn)

其余：基于以上三种操做，所以都为均摊O(logn)

只是常数无比巨大！！！
只是常数无比巨大！！！
只是常数无比巨大！！！

空间复杂度

显然是O(n)的

题目

洛谷P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;  3 #define ImaxnF 0x7fffffff
 4 #define ME 0x7f
 5 #define FO(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
 6 #define fui(i,a,b,c) for(int i=(a);i<=(b);i+=(c))
 7 #define fdi(i,a,b,c) for(int i=(a);i>=(b);i-=(c))
 8 #define fel(i,a) for(register int i=h[a];i;i=ne[i])
 9 #define ll long long
10 #define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
11 #define maxn (300000+10)
12 int n,m; 13 struct Node{ 14     int fa,son[2]; 15     int val,all;//,siz;
16     char ifz; 17     void res(){fa=son[0]=son[1]=val=/*siz=*/0;} 18 }tree[maxn]; 19 int pre[maxn],inp; 20 template<class T>
21 inline T read(T &n){ 22     n=0;int t=1;char ch; 23     for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());(ch=='-')?t=-1:n=ch-'0'; 24     for(ch=getchar();isdigit(ch);ch=getchar()) n=n*10+ch-'0'; 25     return (n*=t); 26 } 27 template<class T>
28 T write(T n){ 29     if(n<0) putchar('-'),n=-n; 30     if(n>=10) write(n/10);putchar(n%10+'0'); 31 } 32 template<class T>
33 T writeln(T n){ 34     write(n);putchar('\n'); 35 } 36 char which(int x){return x==tree[tree[x].fa].son[1];} 37 char isroot(int x){return x!=tree[tree[x].fa].son[which(x)];} 38 void update(int x){tree[x].all=tree[tree[x].son[0]].all^tree[tree[x].son[1]].all^tree[x].val;} 39 void pushdown(int x){ 40     if(tree[x].ifz){ 41         tree[x].ifz=0,swap(tree[x].son[0],tree[x].son[1]); 42         tree[tree[x].son[0]].ifz^=1,tree[tree[x].son[1]].ifz^=1; 43  } 44 }void rotate(int x){ 45     int f=tree[x].fa,ff=tree[f].fa,c=which(x);if(!isroot(f)) tree[ff].son[which(f)]=x; 46     tree[x].fa=ff;tree[f].son[c]=tree[x].son[c^1];tree[tree[f].son[c]].fa=f; 47     tree[x].son[c^1]=f;tree[f].fa=x;update(f);update(x); 48 }void splay(int x){ 49     int f;pre[inp=1]=x;for(f=x;!isroot(f);f=tree[f].fa) pre[++inp]=tree[f].fa;fdi(i,inp,1,1) pushdown(pre[i]); 50     for(;!isroot(x);rotate(x))if(!isroot(tree[x].fa))rotate((which(tree[x].fa)^which(x))?x:tree[x].fa);//update(x);
51 }void access(int x){for(int pr=0;x;pr=x,x=tree[x].fa)splay(x),tree[x].son[1]=pr,update(x);} 52 void makeroot(int x){access(x);splay(x);tree[x].ifz^=1;} 53 int find(int x){for(access(x),splay(x);tree[x].son[0];x=tree[x].son[0]);return x;} 54 void cut(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);if(tree[y].son[0]==x&&!tree[y].son[1]&&!tree[x].son[0]&&!tree[x].son[1]/*tree[y].siz==2*/)tree[y].son[0]=tree[x].fa=0;} 55 void link(int x,int y){makeroot(x);tree[x].fa=y;} 56 void change(int x,int y){makeroot(x);splay(x);tree[x].val=y;update(x);} 57 int query(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);return tree[y].all;} 58 int main(){ 59  read(n);read(m); 60     fui(i,1,n,1) tree[i].val=read(tree[i].all); 61     fui(i,1,m,1){ 62         int opt,x,y; 63  read(opt);read(x);read(y); 64         switch(opt){ 65             case 0:writeln(query(x,y));break; 66             case 1:if(find(x)!=find(y)) link(x,y);break; 67             case 2:if(find(x)==find(y)) cut(x,y);break; 68             case 3:change(x,y); 69  } 70  } 71     return 0; 72 }

AC代码

BZOJ2049 [Sdoi2008]Cave 洞穴勘测

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;  3 #define ImaxnF 0x7fffffff
 4 #define ME 0x7f
 5 #define FO(s) freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout)
 6 #define fui(i,a,b,c) for(int i=(a);i<=(b);i+=(c))
 7 #define fdi(i,a,b,c) for(int i=(a);i>=(b);i-=(c))
 8 #define fel(i,a) for(register int i=h[a];i;i=ne[i])
 9 #define ll long long
10 #define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
11 #define maxn (10000+10)
12 int n,m; 13 struct Node{ 14     int fa,son[2]; 15     char ifz; 16 }tree[maxn]; 17 int pre[maxn],inp; 18 template<class T>
19 inline T read(T &n){ 20     n=0;int t=1;double x=10;char ch; 21     for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());(ch=='-')?t=-1:n=ch-'0'; 22     for(ch=getchar();isdigit(ch);ch=getchar()) n=n*10+ch-'0'; 23     if(ch=='.') for(ch=getchar();isdigit(ch);ch=getchar()) n+=(ch-'0')/x,x*=10; 24     return (n*=t); 25 } 26 char which(int x){return x==tree[tree[x].fa].son[1];} 27 char isroot(int x){return x!=tree[tree[x].fa].son[which(x)];} 28 void pushdown(int x){ 29     if(tree[x].ifz){ 30         tree[x].ifz=0,swap(tree[x].son[0],tree[x].son[1]); 31         tree[tree[x].son[0]].ifz^=1,tree[tree[x].son[1]].ifz^=1; 32  } 33 } 34 void rotate(int x){ 35     int f=tree[x].fa,ff=tree[f].fa,c=which(x);if(!isroot(f)) tree[ff].son[which(f)]=x; 36     tree[x].fa=ff;tree[f].son[c]=tree[x].son[c^1];tree[tree[f].son[c]].fa=f; 37     tree[x].son[c^1]=f;tree[f].fa=x; 38 } 39 void splay(int x){ 40     int f;pre[inp=1]=x;for(f=x;!isroot(f);f=tree[f].fa) pre[++inp]=tree[f].fa;fdi(i,inp,1,1) pushdown(pre[i]); 41     for(;!isroot(x);rotate(x))if(!isroot(tree[x].fa))rotate((which(tree[x].fa)^which(x))?x:tree[x].fa); 42 } 43 void access(int x){for(int pr=0;x;pr=x,x=tree[x].fa)splay(x),tree[x].son[1]=pr;} 44 void makeroot(int x){access(x);splay(x);tree[x].ifz^=1;} 45 int find(int x){for(access(x),splay(x);tree[x].son[0];x=tree[x].son[0]);return x;} 46 void cut(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);if(tree[y].son[0]==x&&!tree[y].son[1]&&!tree[x].son[0]&&!tree[x].son[1])tree[y].son[0]=tree[x].fa=0;} 47 void link(int x,int y){makeroot(x);tree[x].fa=y;} 48 int main(){ 49  read(n);read(m); 50     fui(i,1,m,1){ 51         int x,y;char opt; 52         for(opt=getchar();opt!='Q'&&opt!='C'&&opt!='D';opt=getchar());read(x);read(y); 53         switch(opt){ 54             case 'Q':puts((find(x)==find(y))?"Yes":"No");break; 55             case 'C':if(find(x)!=find(y)) link(x,y);break; 56             case 'D':cut(x,y);break; 57  } 58  } 59     return 0; 60 }

AC代码