L2-001 紧急救援

题解

　　该题考察最短路问题，采用 dijkstra 算法，并在其基础上进行扩展。

　　首先是路径打印，须要记录该点具体由上一个（哪个点）转移过来的，用 $path[]$ 数组记录（具体在更新循环中）。

　　

　　如上图。

　　敲重点

　　关于如何求解路径条数和对应最短路径下的最多救援队数量，咱们先看下图

　　

　　设 $su[i]$ 表示从 $s$ （起点）到 $i$ 点最短距离救援队数量的最大值，$dist[i]$ 表示从 $s$ （起点）到 $i$ 点的最短距离，采用邻接矩阵 $g$ 存储全部的边，$num[i]$ 存储 $s$（起点）到 $i$ 点最短路径的条数。

　　知足 dist[j] <= dist[t] + g[t][j] 的状况下，咱们分两种状况进行讨论

　　一、dist[j] == dist[t] + g[t][j]

　　　  >则距 j 点对应的最短距离是不变的，此时数量对其取 max 便可。

　　　  >路径很显然增长 num[t]（可由 t 扩展）。

　　二、dist[j]   <  dist[t] + g[t][j]

　　　  >则需更新最短距离，由此路径一定为通过 t 再通过由 t 到 j 的边，此时的数量更新为 su[t] + c[j]（c[j] 表示 j 点对应救援队的数量）。

　　　  >路径也必须更新至 t 对应的最短路径的条数。

　　记得初始 num[s] = 1，即本身到本身的一条路径。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 510;
int n, m, s, d, ans;
int g[N][N], dist[N], c[N], path[N], num[N], p[N];
int su[N];
bool st[N];

void dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[s] = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int t = -1;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) {
                t = j;
            }
        }    
        st[t] = true;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (dist[j] >= dist[t] + g[t][j]) {
                if (dist[j] == dist[t] + g[t][j]) {
                    num[j] += num[t];
                    if (su[j] < su[t] + c[j]) {
                        su[j] = su[t] + c[j];
                        path[j] = t;
                    }
                }
                else {
                    num[j] = num[t];
                    su[j] = su[t] + c[j];
                    path[j] = t;
                    dist[j] = dist[t] + g[t][j];
                } 
            }
        }
    }
    int last = d;
    while (last != s) {
        p[ans++] = last;
        last = path[last];
    }
    p[ans++] = last;
    cout << num[d] << " " << su[d] << endl;
    for (int i = ans - 1; i >= 0; --i) {
        if (i == 0) {
            cout << p[i] << endl;
        }
        else {
            cout << p[i] << " ";
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> s >> d;
    memset(g, 0x3f, sizeof(g));
    for (int i = 0; i < n; ++i) { // 城市救援队数量 
        cin >> c[i];
        su[i] = c[i];
    }
    for (int i = 0; i < m; ++i) { // 城市网络结构 
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        g[a][b] = g[b][a] = w;
    }
    // 由于由 s 点出发 
    num[s] = 1;
    dijkstra(); 
    return 0;
}