Codeforces Round #688(Div 2) D. Checkpoints

题目连接：https://codeforces.com/contest/1453/problem/D

思路

第一步，先推导1,0,0,……，0，就是1后面跟了n-1个0的时候
所须要的指望步数

封闭式推导

\(f_n\)表明从n关开始直接通关须要的步数的指望
n为1的状况，即就只有一个1
\(f_1=\cfrac{1}{2} \times 1+\cfrac{1}{2} \times (f_1+1)\)
整理得\(f_1=2\)
第一关时，你有一半的几率通关，有一半的几率回到自身从新开始
n为2的状况，1,0
\(f_1=\cfrac{1}{2} \times(f_1+1)+\cfrac{1}{2} \times (f_2+1)\)
\(f_2=\cfrac{1}{2} \times 1+\cfrac{1}{2} \times (f_1+1)\)
整理得\(f_1=6\)
第一关时，你有一半的几率到达第二关，有一半的几率回到自身从新开始
第二关时，你有一半的几率通关，有一半的几率回到第一关从新开始
这样咱们就能够进行概括总结
把每一个式子化简一下
\(f_1=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_2+1\)
\(f_2=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_3+1\)
\(f_3=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_4+1\)
……
\(f_i=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_{i+1}+1\)
……
\(f_n=\cfrac{1}{2} f_1+1\)
而后本身整理一下，就是两个等比数列的和
就获得了\(f_1\)的封闭式
对于任意状况的n时，\(f_1=2^{n+1}-2\)

思路推动

推导出1,……，0,0的指望公式以后，咱们若是再后面继续添加1,0,……，0这样一个序列
那么他的指望是直接相加的，由于他是一个复活点（检查点），跟你前面的序列一点关系都没有
因此你不管怎么增长都是一个2的倍数，这样也就获得奇数的时候是无解的

代码实现